Nesta postagem apresentamos um resultado de existência e unicidade de solução fraca para as equações de Navier-Stokes num domínio limitado do plano. O material é proveniente de um seminário
apresentado pelo autor (em parceria com um colega) em disciplina de doutorado na UFRJ.
1 Considerações iniciais
Em sua formulação clássica$^{\text{(i)}}$ o PVIF para as equações de Navier-Stokes completas$^{\text{(ii)}}$ é o seguinte:
1 Considerações iniciais
Em sua formulação clássica$^{\text{(i)}}$ o PVIF para as equações de Navier-Stokes completas$^{\text{(ii)}}$ é o seguinte:
Problema 1.1 (PVIF para Navier-Stokes). Sejam $\Omega$ um aberto de $\mathbb{R}^n$ e $T>0$. Dados uma constante $\nu>0$, uma função vetorial $\mathbf{f}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^n$ e uma função vetorial $\mathbf{u}_0:\Omega\to\mathbb{R}^n$, encontrar uma função vetorial $\mathbf{u}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^n$ e uma função escalar $p:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}$ tais que$$\left\{\begin{aligned} \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\mathbf{f}-\nabla p&\quad\text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\
\operatorname{div}\mathbf{u}=0&\quad \text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\
\mathbf{u}=0&\quad\text{em}\quad \partial\Omega\times(0,T),\\
\mathbf{u}=\mathbf{u}_0&\quad\text{em}\quad \Omega\times\{0\}.\\
\end{aligned}\right.\tag{1.1}$$
Este sistema descreve a velocidade $\mathbf{u}$ e a pressão $p$ de um fluído incompressível viscoso que possui viscosidade constante $\nu$, preenche permanentemente uma região $\Omega$ do espaço e está sob a influência de uma força externa $\mathbf{f}$.
Curiosidade: As seguintes questões referentes ao Problema 1.1 estão em aberto e valem um milhão de dólares:$^{\text{(iii)}}$
Curiosidade: As seguintes questões referentes ao Problema 1.1 estão em aberto e valem um milhão de dólares:$^{\text{(iii)}}$
- Existência de Solução. Considere o Problema 1.1 com $n=3$, $\Omega=\mathbb{R}^3$, $T=\infty$, $\mathbf{f}\equiv 0$ e $\mathbf{u}_0$ suave satisfazendo $\operatorname{div}\mathbf{u}_0=0$ e $$|\partial_x^\alpha\mathbf{u}_0(x)|\leq C_{\alpha,K}(1+|x|)^{-K},\quad\forall\ x\in\mathbb{R}^n,\alpha\in\mathbb{N}^3,K>0.\tag{1.2}$$ Mostre que existem $\mathbf{u}\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}^3\big)$ e $p\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}\big)$ satisfazendo (1.1)$_{1,2,4}$ e $$\int_{\mathbb{R}^3}|\mathbf{u}(x,t)|^2\;dx<C,\quad\forall\ t\geq 0.\tag{1.3}$$
- Não Existência de Solução. Considere o Problema 1.1 com $n=3$, $\Omega=\mathbb{R}^3$ e $T=\infty$. Mostre que existem $\mathbf{f}:\mathbb{R}^3\times[0,\infty)\to\mathbb{R}^3$ suave satisfazendo $$|\partial_x^\alpha\partial_t^m\mathbf{f}(x,t)|\leq C_{\alpha,m,K}(1+|x|+t)^{-K},\quad\forall\ x\in\mathbb{R}^n,t\geq 0,\alpha\in\mathbb{N}^3,m\in\mathbb{N},K>0$$ e $\mathbf{u}_0:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ suave satisfazendo $\operatorname{div}\mathbf{u}_0=0$ e (1.2) para os quais não existem $\mathbf{u}\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}^3\big)$ e $p\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}\big)$ satisfazendo (1.1)$_{1,2,4}$ e (1.3).
Nesta exposição, vamos considerar o Problema 1.1 para $n=2$ e $\Omega$ limitado com fronteira regular. O objetivo será provar existência e unicidade de solução fraca. Todo o exposto está baseado em [4, 11, 12, 17].
2 Navier-Stokes em domínios limitados de $\mathbb{R}^2$
Em tudo o que segue, $T>0$ é um número real fixo (e finito), $\Omega$ é um aberto limitado de $\mathbb{R}^2$ com fronteira regular e $\nu>0$ é uma constante.
2.1 Motivação para a formulação fraca
A versão clássica do problema que vamos considerar é a seguinte:
A versão clássica do problema que vamos considerar é a seguinte:
Problema 2.1 (Navier-Stokes no plano). Dados $\mathbf{f}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^2$ e $\mathbf{u}_0:\Omega\to\mathbb{R}^2$, encontrar $\mathbf{u}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^2$ e $p:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}$ tais que$$ \left\{\begin{aligned} \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\mathbf{f}-\nabla p&\quad\text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\
\operatorname{div}\mathbf{u}=0&\quad \text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\
\mathbf{u}=0&\quad\text{em}\quad \partial\Omega\times(0,T),\\
\mathbf{u}=\mathbf{u}_0&\quad\text{em}\quad \Omega\times\{0\}.\\
\end{aligned}\right.\tag{2.1}$$
Escreva $Q=\Omega\times(0,T)$. Suponhamos que, para uma função $\mathbf{f}=(f^1,f^2)\in C(\bar{Q})\times C(\bar{Q})$, o Problema 2.1 possua uma solução $(\mathbf{u},p)$ com $\mathbf{u}=(u^1,u^2)\in C^2(\bar{Q})\times C^2(\bar{Q})$ e $p\in C^1(\bar{Q})$.$^{\text{(iv)}}$ Note que a equação (2.1)$_1$ se reescreve como
$$u^i_t-\nu\Delta u^i+\sum_{j=1}^2 u^ju^i_{x_j}=f^i-p_{x_i},\qquad i=1,2.$$
$$u^i_t-\nu\Delta u^i+\sum_{j=1}^2 u^ju^i_{x_j}=f^i-p_{x_i},\qquad i=1,2.$$
Multiplicando por $v^i\in \mathcal{D}(\Omega)$, integrando sobre $\Omega$ e mantendo implícita a dependência de $t$, segue que
$$(u^i_t,v^i)_{L^2}-\nu\int_\Omega v^i\Delta u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}-\int_\Omega p_{x_i}v^i\;dx.$$
$$(u^i_t,v^i)_{L^2}-\nu\int_\Omega v^i\Delta u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}-\int_\Omega p_{x_i}v^i\;dx.$$
Integrando por partes (e utilizando que $v^i$ se anula sobre $\partial\Omega$), obtemos
$$(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega pv^i_{x_i}\;dx.$$
$$(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega pv^i_{x_i}\;dx.$$
Somando com respeito ao índice $i$, resulta que
$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i=1}^2\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega p\operatorname{div}\mathbf{v}\;dx,$$
$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i=1}^2\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega p\operatorname{div}\mathbf{v}\;dx,$$
onde $\mathbf{v}=(v^1,v^2)$. Supondo adicionalmente que $\operatorname{div}\mathbf{v}=0$, esta última igualdade se reduz a
$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2}+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}.$$
$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2}+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}.$$
Definindo
$$a(\mathbf{u},\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2},$$
a expressão anterior pode ser reescrita como
$$(\mathbf{u}_t,\mathbf{v})+\nu a(\mathbf{u},\mathbf{v})+b(\mathbf{u}, \mathbf{u},\mathbf{v})=(\mathbf{f},\mathbf{v}),$$
onde $(\cdot,\cdot)$ é o produto interno usual em $L^2(\Omega)\times L^2(\Omega)$. Escrevendo $\mathbf{u}(\cdot,t)=\mathbf{u}(t)$, $\mathbf{f}(\cdot,t)=\mathbf{f}(t)$ e tornando explícita a dependência de $t$ na expressão anterior, obtemos
$$(\mathbf{u}_t(t),\mathbf{v})+\nu a(\mathbf{u}(t),\mathbf{v})+b(\mathbf{u}(t), \mathbf{u}(t),\mathbf{v})=(\mathbf{f}(t),\mathbf{v}),\quad\forall\ t\in(0,T).\tag{2.2}$$
Estas considerações motivam a definição dos espaços funcionais, a definição das aplicações e a formulação fraca estabelecidas na seção seguinte.
2.2 Formulação fraca
Defina os espaços
Defina os espaços
$$\mathcal{V}=\{v\in \mathcal{D}(\Omega)\times\mathcal{D}(\Omega)\mid \operatorname{div}v=0\},\qquad V=\overline{\mathcal{V}}^{[H^1(\Omega)]^2},\qquad H=\overline{\mathcal{V}}^{[L^2(\Omega)]^2}.\tag{2.3}$$
Defina também a forma bilinear $a:V\times V\to\mathbb{R}$ e a forma trilinear $b:V\times V\times V\to\mathbb{R}$ por
$$a(u,v)=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(u,w,v)=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2}.\tag{2.4}$$
$$a(u,v)=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(u,w,v)=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2}.\tag{2.4}$$
Note que $a(\cdot,\cdot)$ é o produto interno usual em $[H_0^1(\Omega)]^2$. A seguir, vamos considerar o seguinte problema:
Problema 2.2 (Formulação fraca). Dados uma função $f:[0,T]\to V'$ e um vetor $u_0\in H$, provar que existe uma função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)^{\text{(v)}}$ tal que, para todo $v\in V$,$$\left\{\begin{aligned} &\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)+\nu a(u(\cdot),v)+b(u(\cdot), u(\cdot),v)=\langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V}\;\text{ em }\;\mathcal{D}'(0,T),\\
&u(0)=u_0.
\end{aligned}\right.\tag{2.5}$$
Como antes, $(\cdot,\cdot)$ representa o produto interno usual em $[L^2(\Omega)]^2$. Note que (2.5)$_1$ é uma versão mais fraca de (2.2). A função $u$ deverá ter regularidade suficiente para que a condição (2.5)$_2$ tenha sentido.
2.3 Preliminares
Nesta seção apresentaremos alguns resultados que serão necessários na seção seguinte. Começamos com dois resultados gerais.
Teorema 2.3. Seja $\{e_j\}_{j\in J}$ uma família ortonormal em um espaço de Hilbert $\mathcal{H}$. São equivalentes:(I) $\{e_j\}_{j\in J}$ é maximal (no sentido de inclusão de conjuntos).(II) $ x=\sum_{j\in J}(x,e_j)e_j$ para todo $x\in \mathcal{H}$.(III) $ \|x\|^2=\sum_{j\in J}|(x,e_j)|^2$ para todo $x\in \mathcal{H}$.(IV) $\overline{\operatorname{span}\{e_j\mid j\in J\}}=\mathcal{H}$.
Prova: Para (I) $\Rightarrow$ (II) $\Rightarrow$ (III) $\Rightarrow$ (I), ver [10] (Corolário 12.8, p. 532). A implicação (II) $\Rightarrow$ (IV) é imediata. Para (IV) $\Rightarrow$ (II) ver [3] (Corolário 5.10, p. 143). $\square$
Observação 2.4. No contexto do método de Galerkin, a "base" de um espaço normado separável $X$ geralmente é definida como sendo uma família L.I. contável cujo espaço gerado é denso em $X$ (a separabilidade do espaço garante a existência de tal família - ver Lema 4.1, p. 83, em [8]). Por outro lado, no contexto dos espaços de Hilbert, a "base" às vezes é definida como sendo uma família ortonormal maximal. Segue do Teorema 2.3 que, se $X$ é Hilbert separável, então estes dois conceitos de base coincidem. A seguir, a expressão "sistema ortonormal completo" será utilizada como sinônimo de "família ortonormal maximal".
Agora, vejamos alguns resultados que se referem especificamente aos espaços e às aplicações definidas na seção precedente.
Seja $A:V\to V'$ o operador associado à forma bilinear $a(\cdot,\cdot)$, definida em (2.4). Então (ver [12], p. 15), $A$ é uma bijeção linear contínua com inversa contínua que satisfaz
$$\langle Au,v\rangle_{V'\times V}=a(u,v),\quad \forall\ u,v\in V.\tag{2.7}$$ Em particular, se $u\in V$ é tal que $Au\in H$, então $(Au,v)=a(u,v)$ para toda $v\in V$.
\begin{align*} (\tilde{A}^{-1}h,g)&=(g,\tilde{A}^{-1}h)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)=a(\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)\\
&=a(\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,\tilde{A}^{-1}g).
\end{align*} Segue do teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos em espaços de Hilbert (Teorema 15.39, p. 673, em [9]) que $H$ possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ formado por autovetores de $\tilde{A}^{-1}$, associados a uma família $\{\mu_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ de autovalores não nulos. Como este sistema coincide com as autofunções de $A$, a primeira afirmação está provada. O item (a) segue de um cálculo direto. Da parte já provada, o item (II) do Teorema 2.3 se verifica para $e_j=w_j$ e $\mathcal{H}=H$. Usando isto e o item (a), concluímos que o item (II) do Teorema 2.3 também se verifica para $e_j=w_j/\sqrt{\lambda_j}$ e $\mathcal{H}=V$, onde $\lambda_j=\mu_j^{-1}$. Logo, o item (b) está provado. $\square$
Combinando o Teorema 2.3 como o Lema 2.7 concluímos que, para todo $v\in V$,
$$\|v\|_V^2=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(v,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(v,w_j\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\lambda_j\left|\left(v,w_j\right)\right|^2.\tag{2.8}$$ Analogamente, usando (2.7) concluímos que, para todo $h\in V'$,
$$\begin{aligned} \|{A^{-1}}h\|_{V}^2&=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(A^{-1}h,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|a(A^{-1}h,w_j)\right|^2\\
&=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle AA^{-1}h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2.
\end{aligned}\tag{2.9}$$
Observação 2.4. No contexto do método de Galerkin, a "base" de um espaço normado separável $X$ geralmente é definida como sendo uma família L.I. contável cujo espaço gerado é denso em $X$ (a separabilidade do espaço garante a existência de tal família - ver Lema 4.1, p. 83, em [8]). Por outro lado, no contexto dos espaços de Hilbert, a "base" às vezes é definida como sendo uma família ortonormal maximal. Segue do Teorema 2.3 que, se $X$ é Hilbert separável, então estes dois conceitos de base coincidem. A seguir, a expressão "sistema ortonormal completo" será utilizada como sinônimo de "família ortonormal maximal".
Teorema 2.5. Sejam $V$ e $H$ espaços de Hilbert tais que $V\hookrightarrow H\cong H'\hookrightarrow V'$, onde ambas as inclusões são contínuas e densas. Então,Prova: Ver [6] (teoremas 1 e 2, p. 473 e 477). $\square$
$$W(a,b;V,V'):=\{u\in L^2(a,b;V)\mid u'\in L^2(a,b;V')\}\hookrightarrow C([a,b]; H).$$ Mais ainda, dadas $u,v\in W(a,b; V,V')$, vale a fórmula de integração por partes
$$\begin{gathered}\int_a^b\langle u'(t),v(t)\rangle_{V'\times V}\;dt\\=(u(b),v(b))_H-(u(a),v(a))_H-\int_a^b\langle u(t),v'(t)\rangle_{V\times V'}\;dt.\end{gathered}\tag{2.6}$$
Agora, vejamos alguns resultados que se referem especificamente aos espaços e às aplicações definidas na seção precedente.
Lema 2.6. Os espaços $V$ e $H$ definidos em (2.3) possuem as seguintes propriedades:Prova: (a) Ver [7] (Teoremas 4 e 6, p. 8 e 10) ou [11] (p. 67-68) ou [17] (Teoremas 1.4 e 1.6, p. 15 e 18). (b) Segue de $V$ e $H$ serem subespaços fechados de $[H_0^1(\Omega)]^2$ e $[L^2(\Omega)]^2$, respectivamente. (c) Ver [7] (p. 22) ou [17] (p. 248). (d) Ver [11] (Lema 6.8, p. 74). $\square$
(a) $V$ e $H$ são dados por$^{\text{(vi)}}$ $$V=\{\mathbf{w}\in [H_0^1(\Omega)]^2\mid \operatorname{div}\mathbf{w}=0\},\;H=\{\mathbf{w}\in [L^2(\Omega)]^2\mid \operatorname{div}\mathbf{w}=0,\;(\mathbf{w}\cdot\mathbf{N})|_{\partial\Omega}=0\}.$$ (b) $V$ e $H$ com as normas induzidas de $[H_0^1(\Omega)]^2$ e $[L^2(\Omega)]^2$, respectivamente, são espaços de Hilbert separáveis.
(c) $V\hookrightarrow H\cong H'\hookrightarrow V'$, onde ambas as inclusões são contínuas e densas.
(d) A inclusão $V\hookrightarrow H$ é compacta.
Seja $A:V\to V'$ o operador associado à forma bilinear $a(\cdot,\cdot)$, definida em (2.4). Então (ver [12], p. 15), $A$ é uma bijeção linear contínua com inversa contínua que satisfaz
$$\langle Au,v\rangle_{V'\times V}=a(u,v),\quad \forall\ u,v\in V.\tag{2.7}$$ Em particular, se $u\in V$ é tal que $Au\in H$, então $(Au,v)=a(u,v)$ para toda $v\in V$.
Lema 2.7. O espaço $H$ definido em (2.3) possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in \mathbb{N}}$ formado por autofunções do operador $A$. Mais ainda, se $\{\lambda_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ são os autovetores correspondentes, então:Prova: Defina $X=\{u\in V\mid Au\in H\}$. Das propriedades de $A$, segue que $\tilde{A}:=A|_{X}$ é uma bijeção linear contínua com inversa $\tilde{A}^{-1}:H\to X$ contínua. Segue do item (d) do Lema 2.6 que $\tilde{A}^{-1}:H\to H$ é compacta. Mais ainda, $\tilde{A}^{-1}$ é simétrica porque, dados $f,g\in H$,
(a) $(v,w_j)_V=\lambda_j(v,w_j)$ para todo $v\in V$.
(b) $\left\{\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right\}_{j\in \mathbb{N}}$ é um sistema ortonormal completo em $V$.
\begin{align*} (\tilde{A}^{-1}h,g)&=(g,\tilde{A}^{-1}h)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)=a(\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)\\
&=a(\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,\tilde{A}^{-1}g).
\end{align*} Segue do teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos em espaços de Hilbert (Teorema 15.39, p. 673, em [9]) que $H$ possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ formado por autovetores de $\tilde{A}^{-1}$, associados a uma família $\{\mu_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ de autovalores não nulos. Como este sistema coincide com as autofunções de $A$, a primeira afirmação está provada. O item (a) segue de um cálculo direto. Da parte já provada, o item (II) do Teorema 2.3 se verifica para $e_j=w_j$ e $\mathcal{H}=H$. Usando isto e o item (a), concluímos que o item (II) do Teorema 2.3 também se verifica para $e_j=w_j/\sqrt{\lambda_j}$ e $\mathcal{H}=V$, onde $\lambda_j=\mu_j^{-1}$. Logo, o item (b) está provado. $\square$
Combinando o Teorema 2.3 como o Lema 2.7 concluímos que, para todo $v\in V$,
$$\|v\|_V^2=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(v,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(v,w_j\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\lambda_j\left|\left(v,w_j\right)\right|^2.\tag{2.8}$$ Analogamente, usando (2.7) concluímos que, para todo $h\in V'$,
$$\begin{aligned} \|{A^{-1}}h\|_{V}^2&=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(A^{-1}h,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|a(A^{-1}h,w_j)\right|^2\\
&=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle AA^{-1}h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2.
\end{aligned}\tag{2.9}$$
Lema 2.8. A forma trilinear definida em (2.4) é contínua e, para quaisquer $u,\tilde{u},v,w\in V$, satisfaz:Prova: (a) Ver [4] (Lemas 1 e 2, p. 126) ou [11] (Lema 6.5, p. 72) ou [12] (Lemas 1 e 3, p. 115 e 119) ou [17] (Lemas 1.2 e 1.3, p. 162 e 163). (b) Ver [4] (p. 155 e 156) ou [12] (p. 122) ou [17] (p. 293). (c) Ver [12] (Observação 3, p. 122). $\square$
(a) $b(u,w,v)=-b(u,v,w)$.
(b) $|b(w,w,u)|\leq C\|w\|_H\|w\|_V\|u\|_V$.
(c) $b(u,u,v)-b(\tilde{u},\tilde{u},v)=b(u-\tilde{u},u,v)-b(u-\tilde{u},u-\tilde{u},v)+b(u,u-\tilde{u},v)$.
Observação 2.9. Fixado $(u,w)\in V\times V$, segue do Lema 2.8 que a aplicação $v\mapsto b(u,w,v)$ é um funcional linear contínuo. Logo, pelo Teorema de Representação de Riesz, podemos definir uma aplicação bilinear contínua $B:V\times V\to V'$ satisfazendo $\langle B(u,w),v\rangle_{V'\times V}=b(u,w,v)$ para quaisquer $u,w,v\in V$.
Lema 2.10. Se $u,v\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$, então existe uma constante positiva $C$ tal queProva: Ver [4] (Lema 4, p. 130) ou [12] (Lema 4, p. 120) ou [17] (p. 293). $\square$
$$\|B(u(t),v(t))\|_{V'}\leq C\|u(t)\|_V^{1/2}\|v(t)\|_V^{1/2},\quad\text{q.s. em}\quad[0,T]\tag{2.10}$$ e, consequentemente, $B(u(\cdot),v(\cdot))\in L^2(0,T;V')$.
Lema 2.11 (De Rham, Nečas). Sejm $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ um aberto limitado com fronteira regular e $S\in[H^{-1}(\Omega)]^2$. SeProva: Ver [2] (Proposição IV.1.7, p. 238, e Teorema IV.2.3, p. 242) ou [15] (Lema 2.2.2, p. 75) ou [17] (proposições 1.1 e 1.2, p. 14, e Nota 1.4, p. 15). $\square$
$$\langle S,v\rangle_{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=0,\quad\forall \ v\in\mathcal{V},$$ então existe uma única função $P\in L^2(\Omega)$ com média nula satisfazendo $S=\nabla P$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$ e verificando
$$\|P\|_{L^2(\Omega)}\leq a\|S\|_{[H^{-1}(\Omega)]^2},\quad \|S\|_{[H^{-1}(\Omega)]^2}\leq b\|P\|_{L^2(\Omega)},\tag{2.11}$$ onde $a$ e $b$ são constantes positivas que dependem apenas de $\Omega$.
2.4 Existência e unicidade de solução fraca
O teorema a seguir resolve o Problema 2.2.
Teorema 2.12. Dados $f\in L^2(0,T;V')$ e $u_0\in H$, existe uma única função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ satisfazendo,$^{\text{(vii)}}$ para todo $v\in V$,Prova:
$$\left\{\begin{aligned} &\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)+\nu a(u(\cdot),v)+b(u(\cdot), u(\cdot),v)=\langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V}\text{ em }\mathcal{D}'(0,T),\\
&u(0)=u_0.
\end{aligned}\right.\tag{2.12}$$
- Existência
PROBLEMA APROXIMADO
Seja $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ a base de $H$ dada pelo Lema 2.7. Para cada $m\in\mathbb{N}$, defina $V_m=\mathrm{span}\{w_1,...,w_m\}$. O primeiro passo é mostrar que, para cada $m\in\mathbb{N}$ e cada $j=1,...,m$, existem
$$\left\{\begin{aligned} u_m(t)=\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_j\in V_m,&\\
\quad {u_0}_m\in V_m,&
\end{aligned}\right.\tag{2.13}$$ satisfazendo o "problema aproximado"
$$\left\{\begin{aligned} &(u'_m(t),w_j)+\nu a(u_m(t),w_j)+b(u_m(t), u_m(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T]\\
&u_m(0)={u_0}_m,\\
&{u_0}_m\overset{m\to\infty}{\longrightarrow} u_0\quad\text{em}\quad H.
\end{aligned}\right.\tag{2.14}$$ Seja
$${u_0}_m=\sum_{i=1}^m(u_0,w_i)w_i\tag{2.15}$$ a projeção de $u_0=\sum_{i=1}^\infty(u_0,w_i)w_i$ sobre $V_m$. Então $({u_0}_m)$ é uma sequência em $H$ satisfazendo (2.13)$_2$ e (2.14)$_3$. Assim, substituindo (2.13)$_1$ e (2.15) em (2.14)$_{1,2}$, concluímos que resolver o problema aproximado equivale a resolver o seguinte sistema de EDOs com $1\leq j\leq m$:
$$\left\{\begin{aligned} &g'_{jm}(t)+\lambda_jg_{jm}(t)+\sum_{i,k=1}^mb(g_{im}(t), g_{km}(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T],\\
&g_{jm}(0)=(u_0,w_j),\\
\end{aligned}\right.\tag{2.16}$$ onde $\lambda_j\in \mathbb{R}$ é o autovalor correspondente à autofunção $w_j$. Pelo Teorema de Carathéodory, para cada $m\in\mathbb{N}$ o sistema (2.16), e por conseguinte o sistema de interesse (2.14), possui uma única solução local absolutamente contínua definida sobre um intervalo $[0,t_m]$. A primeira estimativa feita a seguir garante que tal solução pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$.
1ª ESTIMATIVA
Multiplicando (2.14)$_1$ por $g_{jm}(t)$ e somando com respeito a $j$, segue que
$$\begin{align*} (u'_m(t),u_m(t))+\nu a(u_m(t),u_m(t))+b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=\langle f(t),u_m(t)\rangle_{V'\times V}\\
&\leq \|f(t)\|_{V'}\|u_m(t)\|_{V}.
\end{align*}$$ Note que
$$\begin{align*} (u'_m(t),u_m(t))&=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2,\\
a(u_m(t),u_m(t))&=\|u_m(t)\|^2_V,\\
b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=0,
\end{align*}$$ onde na segunda igualdade usamos a definição de $a(\cdot,\cdot)$ e, na terceira, usamos o Lema 2.8. Portanto, pela desigualdade de Young,
$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+\nu \|u_m(t)\|^2_V\leq C_\varepsilon\|f(t)\|_{V'}^2+\varepsilon\|u_m(t)\|_{V}^2.$$ Tomando $\varepsilon$ suficientemente pequeno (de modo que $\nu-\varepsilon>0$), obtemos
$$\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+ \|u_m(t)\|^2_V\leq C_1\|f(t)\|_{V'}^2.$$ Integrando de $0$ até $t\in[0,t_m]$, resulta de (2.14)$_2$ que
$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq |{u_0}_m|_H^2+C_1\|f\|_{L^2(0,T;V')}.$$ De (2.14)$_3$, obtemos uma constante $C$ (independente de $t_m$) tal que
$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq C,\quad\forall\ t\in[0,t_m].
\tag{2.17}$$ Assim, a solução $Y_m=(g_{1m},...,g_{mm})$ do sistema (2.16) satisfaz
$$|Y_m(t)|_{\mathbb{R}^m} =\sum_{i=1}^mg_{im}^2(t)=\left(\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_i,\sum_{k=1}^mg_{km}(t)w_k\right)
=(u_m(t),u_m(t))
=|u_m(t)|^2_H\leq C$$ para todo $t\in [0,t_m]$. Isto implica que $Y_m$, e por conseguinte a solução $u_m$ de (2.14), pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$. Uma vez que dispomos de uma solução definida sobre $[0,T]$, podemos repetir os cálculos anteriores com $T$ no lugar de $t_m$ e concluir que (2.17) vale com $T$ no lugar de $t_m$. Portanto,
$$\begin{align*} (u_m)\quad&\text{é limitada em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.18}\\
(u_m)\quad&\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;V).\tag{2.19} \end{align*}$$
2ª ESTIMATIVA
Como o operador $\tilde{A}:X\to H$ tem inversa simétrica (ver Seção 2.3), segue do item (a) do Lema 2.7 que
$$(A^{-1}h,g)_V=\lambda_j(\tilde{A}^{-1}h,g)=\lambda_j(h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,A^{-1}g)_V,\quad \forall\ h,g\in H.$$ Logo, por (2.8),
\begin{align*}\|u'_m(t)\|_{V'}^2=\|AA^{-1}u'_m(t)\|_{V'}^2&\leq c\|A^{-1}u'_m(t)\|_V^2
=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(A^{-1}u'_m(t),w_j\right)_V\right|^2\\
&=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(u'_m(t),A^{-1}w_j\right)_V\right|^2
=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j^2}|(u'_m(t),w_j)_V|^2\\
&=c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|(u'_m(t),w_j)|^2
=c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|\langle u'_m(t),w_j\rangle_{V'\times V}|^2.
\end{align*} Escrevendo $h_m(t)=f(t)-\nu Au_m(t)-B(u_m(t),u_m(t))$, segue de (2.14)$_1$, (2.9) e (2.10) que
\begin{align*} \|u'_m(t)\|_{V'}^2&\leq c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|\langle h_m(t),w_j\rangle _{V'\times V}|^2=c\|{A^{-1}}h_m(t)\|_{V}^2\leq c_1\|h_m(t)\|_{V'}^2\\
&\leq c_1\big(\|f(t)\|_{V'}+\nu \|Au_m(t)\|_{V'}+\|B(u_m(t),u_m(t))\|_{V'}\big)^2\\
&\leq c_2\big(\|f(t)\|_{V'}^2+\|u_m(t)\|^2_{V}+\|u_m(t)\|^2_{V}\big).
\end{align*} Como $f\in L^2(0,T;V')$, segue de (2.19) que
$$(u'_m)\quad\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;V').\tag{2.20}$$
PASSAGEM AO LIMITE
Resulta de (2.18), (2.19) e (2.20) que existe $u\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ tal que
$$\begin{align*} u_m&\overset{*}{\rightharpoonup} u\quad\text{ em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.21}\\
u_m&\rightharpoonup u\quad\text{ em}\quad L^2(0,T;V),\tag{2.22}\\
u'_m&\rightharpoonup u'\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V').\tag{2.23} \end{align*}$$ De (2.14)$_1$ resulta que, para $1\leq j\leq m$,
$$\label{} (u'_m(\cdot),w_j)+\nu a(u_m(\cdot),w_j)+b(u_m(\cdot), u_m(\cdot),w_j)=\langle f(\cdot),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ em }\mathcal{D}'(0,T)\tag{2.24}.
$$ Vejamos que
$$\left.\begin{aligned}(u'_m(\cdot),w_j)&\to \frac{d}{dt}(u(\cdot),w_j)\\
a(u_m(\cdot),w_j)&\to a(u(\cdot),w_j)\\
b(u_m(\cdot), u_m(\cdot),w_j)&\to b(u(\cdot), u(\cdot),w_j)
\end{aligned}\right\}\quad \text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T)^{\text{(viii)}}.\tag{2.25}$$
A seguir provaremos a terceira convergência, que envolve o termo não linear da equação (graças à linearidade, as duas primeiras convergência são obtidas de maneira mais simples e, por isso, omitiremos os detalhes). Das limitações (2.19) e (2.20), concluímos que
$$(u_m)\quad\text{é limitada em}\quad W:= \{g\in L^2(0,T;V)\mid g'\in L^2(0,T;V')\}.\tag{2.26}$$ Pelo Teorema de Aubin-Lions, $W\overset{\mathrm{c}}{\hookrightarrow} L^2(0,T; H)$ (aqui estamos usando os itens (b), (c) e (d) do Lema 2.6). Logo, passando a uma subsequência,
$$u_m\to u\quad\text{em}\quad L^2(0,T;H).$$ Consequentemente,
$$u_m^i\to u^i\quad\text{em}\quad L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(Q),\qquad i=1,2$$ onde $Q=\Omega\times(0,T)$ (para detalhes sobre o isomorfismo acima, ver p. 24 em [13]). Resulta disto que, passando a uma subsequência,
$$u_m^iu_m^k\to u^iu^k\quad\text{q.s. em}\quad Q,\qquad i,k=1,2.\tag{2.27}$$ Como $n=2$, temos $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^4(\Omega)$ (ver Teorema 4.12, p. 85, em [1]). Consequentemente, $L^2(0,T;V)\hookrightarrow L^2(0,T;[L^4(\Omega)]^2)$ e
\begin{align*} \|u_m^iu_m^k\|_{L^2}^2&=\int_\Omega|u_m^i|^2|u_m^k|^2\;dx
\leq\left(\int_\Omega|u_m^i|^4\;dx\right)^{1/2}\left(\int_\Omega|u_m^k|^4\;dx\right)^{1/2}=\|u^i_m\|_{L^4}^2\|u^k_m\|_{L^4}^2\\
&\leq \frac{1}{2}\|u^i_m\|_{L^4}^4+\frac{1}{2}\|u^k_m\|_{L^4}^4.
\end{align*} Logo, de (2.19),
$$(u_m^iu_m^k)\quad\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(Q),\qquad i,k=1,2.\tag{2.28}$$ De (2.27), de (2.28) e do Lema de Lions, segue que
$$u_m^iu_m^k\rightharpoonup u^iu^k\quad\text{em}\quad L^2(Q)\cong L^2(0,T;L^2(\Omega)),\qquad i,k=1,2.$$ Isto implica que
$$\int_0^T(u^k_m(t)v(\cdot,t),u_m^i(t))_{L^2}\;dt=\int_Q u^i_mu^k_mv\;dz\to\int_Q u^iu^kv\;dz=\int_0^T(u^k(t)v(\cdot,t),u^i(t))_{L^2}\;dt$$ para toda $ v\in L^2(Q)$. Tomando $v(x,t)=\theta(t)\frac{d}{dx_k}w_j^i(x)$ com $\theta\in L^2(0,T)$ e somando com respeito aos índices $i,k$, segue que
$$\int_0^Tb(u_m(t),\theta(t)w_j,u_m(t))\;dx\to\int_0^Tb(u(t),\theta(t)w_j,u(t))\;dx.$$ Do Lema 2.8, obtemos
$$\int_0^Tb(u_m(t),u_m(t),w_j)\theta(t)\;dt\to\int_0^Tb(u(t),u(t),w_j)\theta(t)\;dt,\quad\forall\ \theta\in L^2(0,T).$$ A última convergência vale, em particular, para todo $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ e, portanto,
$$b(u_m(\cdot),u_m(\cdot),w_j)\to b(u(\cdot),u(\cdot),w_j)\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T).$$ Isto conclui a prova de (2.25). Assim, fixando $j\in\mathbb{N}$ e tomando o limite em (2.24) com $m\to\infty$, concluímos que
$$\frac{d}{dt}(u(\cdot),w_j)+\nu a(u(\cdot),w_j)+b(u(\cdot), u(\cdot),w_j)=\langle f(\cdot),w_j\rangle_{V'\times V}\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(0,T),\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.$$ Multiplicando por $\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}$, segue do item (b) do Lema 2.7 (e do Teorema 2.3) que vale (2.12)$_1$.
CONDIÇÃO INICIAL
Já vimos que $u$ pertence ao espaço $W$ definido em (2.26). Logo, o Teorema 2.5 implica que $u\in C([0,T];H)$ e, portanto, $u(0)$ tem sentido. De (2.21) e (2.23),
\begin{align*} \int_0^T(u_m(t),v(t))\;dt&\to \int_0^T(u(t),v(t))\;dt,\quad\forall\ v\in L^1(0,T;H),\\
\int_0^T(u_m'(t),z(t))\;dt=\int_0^T\langle u_m'(t),z(t)\rangle_{V'\times V}\;dt&\to \int_0^T\langle u'(t),z(t)\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ z\in L^2(0,T;V).
\end{align*} Tome $\theta\in C^1[0,T]$ tal que $\theta(0)=1$ e $\theta(T)=0$. Das últimas duas convergências com $v(t)=\theta'(t)w_j$ e $z(t)=\theta(t)w_j$ segue que
\begin{align*} \int_0^T(u_m(t),\theta'(t)w_j)\;dt&\to \int_0^T(u(t),\theta'(t)w_j)\;dt=\int_0^T\langle u(t),\theta'(t)w_j\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ j\in\mathbb{N},\\
\int_0^T(u'_m(t),\theta(t)w_j)\;dt&\to \int_0^T\langle u'(t),\theta(t)w_j\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.
\end{align*} Somando as duas últimas convergências, segue da fórmula de integração por partes (2.6) que
$$(u_m(0),w_j)\to (u(0),w_j),\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.$$ Como $\operatorname{span}\{w_j\mid j\in\mathbb{N}\}$ é denso em $H$ (veja Teorema 2.3), segue de (2.14)$_2$ e da última convergência que
$${(u_0}_m,v)=(u_m(0),v)\to (u(0),v),\quad\forall\ v\in H.$$ Mas, de (2.14)$_3$,
$$({u_0}_m,v)\to (u_0,v),\quad\forall\ v\in H.$$ Logo, vale (2.12)$_2$ porque, pela unicidade do limite, as duas últimas convergências implicam que
$$(u(0),v)=(u_0,v),\quad\forall\ v\in H.$$
REGULARIDADE EXTRA
A igualdade já provada (2.12)$_1$ significa que, para quaisquer $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ e $v\in V$,
$$\left\langle \frac{d}{dt}(u(\cdot),v),\theta\right\rangle+ \big\langle \nu a(u(\cdot),v),\theta\big\rangle+\big\langle b(u(\cdot),u(\cdot),v),\theta\big\rangle=\big\langle \langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V},\theta\big\rangle.%,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V.
\tag{2.29}$$ Mas,
\begin{align*} \big\langle b(u(\cdot),u(\cdot),v),\theta\big\rangle&=\int_0^T b(u(t),u(t),v)\theta(t)\;dt
=\int_0^T\langle B(u(t),u(t)),v\rangle_{V'\times V}\theta(t)\;dt\\
&=\int_0^T\langle B(u(t),u(t))\theta(t),v\rangle_{V'\times V}\;dt
=\left\langle \int_0^TB(u(t),u(t))\theta(t)\;dt,v\right\rangle_{V'\times V}\\
&=\Big\langle \langle B(u(\cdot),u(\cdot)),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}.
\end{align*} Observe que na penúltima igualdade estamos usando o Lema 2.10, de acordo com o qual a integral que aparece dentro da dualidade está bem definida. Analogamente,
\begin{gather*} \left\langle \frac{d}{dt}(u(\cdot),v),\theta\right\rangle=\Big\langle \langle u'(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}\qquad\qquad
\big\langle \nu a(u(\cdot),v),\theta\big\rangle=\Big\langle \langle\nu Au(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}\\
\big\langle \langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V},\theta\big\rangle=\Big\langle \langle f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V} \end{gather*} Logo, por (2.29),
$$\Big\langle \langle u'(\cdot),\theta\rangle+\langle\nu Au(\cdot),\theta\rangle+\langle B(u(\cdot),u(\cdot)),\theta\rangle-\langle f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}=0,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V$$ donde
$$\big\langle u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot),\theta\big\rangle =0\quad\text{em}\quad V',\qquad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T).$$ Isto implica que
$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot)=0\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T;V').$$ Por hipótese, $f(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Já vimos que $u\in L^2(0,T;V)$ e $u'\in L^2(0,T;V')$. Como $A:V\to V'$ é limitado, segue que $Au(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Do Lema 2.10, $B(u(\cdot),u(\cdot))\in L^2(0,T;V')$. Logo, a última igualdade vale em $L^2(0,T;V')$ e pode ser reescrita como
$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))=f(\cdot)\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V')$$ donde
$$u'(t)+\nu Au(t)+B(u(t),u(t))=f(t)\quad\text{em}\quad V',\qquad\text{q.s. em}\quad [0,T].$$
Sejam $u,\tilde{u}\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$ duas soluções do problema (2.12) com $u',\tilde{u}'\in L^2(0,T;V')$. Então, de (2.30), a função $w:=u-\tilde{u}$ satisfaz
$$\left\{\begin{aligned} &w'(t)+\nu Aw(t)+B(u(t), u(t))-B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t))=0\quad\text{em}\quad V',\text{ q.s. em }[0,T],\\
&w(0)=0.
\end{aligned}\right.\tag{2.31}$$ De (2.31)$_1$ segue que, para todo $v\in V$,
$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle \nu Aw(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle B(u(t), u(t)),v\rangle_{V'\times V}-\langle B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v\rangle_{V'\times V}=0$$ q.s. em $[0,T]$, ou ainda,
$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),v)+b(u(t), u(t)),v)-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v)=0\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$ Em particular,
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))+b(u(t), u(t)),w(t))-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),w(t))=0$$ q.s. em $[0,T]$. Pelo Lema 2.8, segue que
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))=-b(w(t),u(t),w(t))\leq C\|w(t)\|_{H}\|w(t)\|_{V}\|u(t)\|_V$$ q.s. em $[0,T]$. Da definição de $a(\cdot,\cdot)$ e da desigualdade de Young, segue que
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu\|w(t)\|_V^2\leq \nu\|w(t)\|_{V}^2+ C\|w(t)\|_{H}^2\|u(t)\|_V^2\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$ Integrando sobre $(0,t)$ e usando (2.31)$_2$, concluímos que
$$\|w(t)\|_H=\int_0^t\frac{d}{dt}\|w(s)\|_H\;ds = 2\int_0^t\langle w'(s),w(t)\rangle_{V'\times V}\;ds \leq C\int_0^t\|w(s)\|_{H}^2\|u(s)\|_V^2\;ds.$$ Pela desigualdade de Grönwall concluímos que $w=0$ e, portanto, $u=\tilde{u}$. $\square$
Observação 2.13. Note que provamos mais do que enunciamos no Teorema 2.12. Na verdade, demonstramos o seguinte resultado:
$$\langle u'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(u(t),v)+b(u(t), u(t),v)=\langle f(t),v\rangle_{V'\times V}\quad\text{q.s em}\quad[0,T],\quad\forall\ v\in V$$ que também é uma versão fraca de (2.2), porém, "melhor" do que a formulação fraca original (2.5)$_1$.
2.5 Recuperação da pressão
Note que a pressão $p$ que aparece no problema original (2.1) foi "perdida" no processo da formulação fraca. Nesta seção vamos "recuperá-la", também em um sentido fraco - diferente, porém, daquele que foi considerado anteriormente. Especificamente, vamos "recuperá-la" no sentido das distribuições sobre $Q:=\Omega\times (0,T)$.
Observação 2.15. No que segue, o valor de uma distribuição $g\in\mathcal{D}'(\Omega)$ em $v\in\mathcal{D}(\Omega)$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}$. Analogamente, o valor de $g\in\mathcal{D}'(Q)$ em $v\in\mathcal{D}(Q)$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}$ e o valor de $g\in\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))$ em $v\in\mathcal{D}(0,T;H^{-1}(\Omega))$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))}$.
Observação 2.16. Pelo Teorema de Extensão de Hahn-Banach, todo funcional $g\in V'$ pode ser visto como um elemento de $([H_0^1(\Omega)]^2)'\cong [(H_0^1(\Omega))']^2=[H^{-1}(\Omega)]^2$ satisfazendo $\|g\|_{V'}=\|g\|_{[{H^{-1}(\Omega)]^2}}$ e
$$\langle g,v\rangle_{V'\times V}=\langle g,v\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)},\quad\forall\ v\in V.\tag{2.33}$$
Seja $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ a base de $H$ dada pelo Lema 2.7. Para cada $m\in\mathbb{N}$, defina $V_m=\mathrm{span}\{w_1,...,w_m\}$. O primeiro passo é mostrar que, para cada $m\in\mathbb{N}$ e cada $j=1,...,m$, existem
$$\left\{\begin{aligned} u_m(t)=\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_j\in V_m,&\\
\quad {u_0}_m\in V_m,&
\end{aligned}\right.\tag{2.13}$$ satisfazendo o "problema aproximado"
$$\left\{\begin{aligned} &(u'_m(t),w_j)+\nu a(u_m(t),w_j)+b(u_m(t), u_m(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T]\\
&u_m(0)={u_0}_m,\\
&{u_0}_m\overset{m\to\infty}{\longrightarrow} u_0\quad\text{em}\quad H.
\end{aligned}\right.\tag{2.14}$$ Seja
$${u_0}_m=\sum_{i=1}^m(u_0,w_i)w_i\tag{2.15}$$ a projeção de $u_0=\sum_{i=1}^\infty(u_0,w_i)w_i$ sobre $V_m$. Então $({u_0}_m)$ é uma sequência em $H$ satisfazendo (2.13)$_2$ e (2.14)$_3$. Assim, substituindo (2.13)$_1$ e (2.15) em (2.14)$_{1,2}$, concluímos que resolver o problema aproximado equivale a resolver o seguinte sistema de EDOs com $1\leq j\leq m$:
$$\left\{\begin{aligned} &g'_{jm}(t)+\lambda_jg_{jm}(t)+\sum_{i,k=1}^mb(g_{im}(t), g_{km}(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T],\\
&g_{jm}(0)=(u_0,w_j),\\
\end{aligned}\right.\tag{2.16}$$ onde $\lambda_j\in \mathbb{R}$ é o autovalor correspondente à autofunção $w_j$. Pelo Teorema de Carathéodory, para cada $m\in\mathbb{N}$ o sistema (2.16), e por conseguinte o sistema de interesse (2.14), possui uma única solução local absolutamente contínua definida sobre um intervalo $[0,t_m]$. A primeira estimativa feita a seguir garante que tal solução pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$.
1ª ESTIMATIVA
Multiplicando (2.14)$_1$ por $g_{jm}(t)$ e somando com respeito a $j$, segue que
$$\begin{align*} (u'_m(t),u_m(t))+\nu a(u_m(t),u_m(t))+b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=\langle f(t),u_m(t)\rangle_{V'\times V}\\
&\leq \|f(t)\|_{V'}\|u_m(t)\|_{V}.
\end{align*}$$ Note que
$$\begin{align*} (u'_m(t),u_m(t))&=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2,\\
a(u_m(t),u_m(t))&=\|u_m(t)\|^2_V,\\
b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=0,
\end{align*}$$ onde na segunda igualdade usamos a definição de $a(\cdot,\cdot)$ e, na terceira, usamos o Lema 2.8. Portanto, pela desigualdade de Young,
$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+\nu \|u_m(t)\|^2_V\leq C_\varepsilon\|f(t)\|_{V'}^2+\varepsilon\|u_m(t)\|_{V}^2.$$ Tomando $\varepsilon$ suficientemente pequeno (de modo que $\nu-\varepsilon>0$), obtemos
$$\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+ \|u_m(t)\|^2_V\leq C_1\|f(t)\|_{V'}^2.$$ Integrando de $0$ até $t\in[0,t_m]$, resulta de (2.14)$_2$ que
$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq |{u_0}_m|_H^2+C_1\|f\|_{L^2(0,T;V')}.$$ De (2.14)$_3$, obtemos uma constante $C$ (independente de $t_m$) tal que
$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq C,\quad\forall\ t\in[0,t_m].
\tag{2.17}$$ Assim, a solução $Y_m=(g_{1m},...,g_{mm})$ do sistema (2.16) satisfaz
$$|Y_m(t)|_{\mathbb{R}^m} =\sum_{i=1}^mg_{im}^2(t)=\left(\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_i,\sum_{k=1}^mg_{km}(t)w_k\right)
=(u_m(t),u_m(t))
=|u_m(t)|^2_H\leq C$$ para todo $t\in [0,t_m]$. Isto implica que $Y_m$, e por conseguinte a solução $u_m$ de (2.14), pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$. Uma vez que dispomos de uma solução definida sobre $[0,T]$, podemos repetir os cálculos anteriores com $T$ no lugar de $t_m$ e concluir que (2.17) vale com $T$ no lugar de $t_m$. Portanto,
$$\begin{align*} (u_m)\quad&\text{é limitada em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.18}\\
(u_m)\quad&\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;V).\tag{2.19} \end{align*}$$
2ª ESTIMATIVA
Como o operador $\tilde{A}:X\to H$ tem inversa simétrica (ver Seção 2.3), segue do item (a) do Lema 2.7 que
$$(A^{-1}h,g)_V=\lambda_j(\tilde{A}^{-1}h,g)=\lambda_j(h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,A^{-1}g)_V,\quad \forall\ h,g\in H.$$ Logo, por (2.8),
\begin{align*}\|u'_m(t)\|_{V'}^2=\|AA^{-1}u'_m(t)\|_{V'}^2&\leq c\|A^{-1}u'_m(t)\|_V^2
=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(A^{-1}u'_m(t),w_j\right)_V\right|^2\\
&=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(u'_m(t),A^{-1}w_j\right)_V\right|^2
=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j^2}|(u'_m(t),w_j)_V|^2\\
&=c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|(u'_m(t),w_j)|^2
=c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|\langle u'_m(t),w_j\rangle_{V'\times V}|^2.
\end{align*} Escrevendo $h_m(t)=f(t)-\nu Au_m(t)-B(u_m(t),u_m(t))$, segue de (2.14)$_1$, (2.9) e (2.10) que
\begin{align*} \|u'_m(t)\|_{V'}^2&\leq c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|\langle h_m(t),w_j\rangle _{V'\times V}|^2=c\|{A^{-1}}h_m(t)\|_{V}^2\leq c_1\|h_m(t)\|_{V'}^2\\
&\leq c_1\big(\|f(t)\|_{V'}+\nu \|Au_m(t)\|_{V'}+\|B(u_m(t),u_m(t))\|_{V'}\big)^2\\
&\leq c_2\big(\|f(t)\|_{V'}^2+\|u_m(t)\|^2_{V}+\|u_m(t)\|^2_{V}\big).
\end{align*} Como $f\in L^2(0,T;V')$, segue de (2.19) que
$$(u'_m)\quad\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;V').\tag{2.20}$$
PASSAGEM AO LIMITE
Resulta de (2.18), (2.19) e (2.20) que existe $u\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ tal que
$$\begin{align*} u_m&\overset{*}{\rightharpoonup} u\quad\text{ em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.21}\\
u_m&\rightharpoonup u\quad\text{ em}\quad L^2(0,T;V),\tag{2.22}\\
u'_m&\rightharpoonup u'\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V').\tag{2.23} \end{align*}$$ De (2.14)$_1$ resulta que, para $1\leq j\leq m$,
$$\label{} (u'_m(\cdot),w_j)+\nu a(u_m(\cdot),w_j)+b(u_m(\cdot), u_m(\cdot),w_j)=\langle f(\cdot),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ em }\mathcal{D}'(0,T)\tag{2.24}.
$$ Vejamos que
$$\left.\begin{aligned}(u'_m(\cdot),w_j)&\to \frac{d}{dt}(u(\cdot),w_j)\\
a(u_m(\cdot),w_j)&\to a(u(\cdot),w_j)\\
b(u_m(\cdot), u_m(\cdot),w_j)&\to b(u(\cdot), u(\cdot),w_j)
\end{aligned}\right\}\quad \text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T)^{\text{(viii)}}.\tag{2.25}$$
A seguir provaremos a terceira convergência, que envolve o termo não linear da equação (graças à linearidade, as duas primeiras convergência são obtidas de maneira mais simples e, por isso, omitiremos os detalhes). Das limitações (2.19) e (2.20), concluímos que
$$(u_m)\quad\text{é limitada em}\quad W:= \{g\in L^2(0,T;V)\mid g'\in L^2(0,T;V')\}.\tag{2.26}$$ Pelo Teorema de Aubin-Lions, $W\overset{\mathrm{c}}{\hookrightarrow} L^2(0,T; H)$ (aqui estamos usando os itens (b), (c) e (d) do Lema 2.6). Logo, passando a uma subsequência,
$$u_m\to u\quad\text{em}\quad L^2(0,T;H).$$ Consequentemente,
$$u_m^i\to u^i\quad\text{em}\quad L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(Q),\qquad i=1,2$$ onde $Q=\Omega\times(0,T)$ (para detalhes sobre o isomorfismo acima, ver p. 24 em [13]). Resulta disto que, passando a uma subsequência,
$$u_m^iu_m^k\to u^iu^k\quad\text{q.s. em}\quad Q,\qquad i,k=1,2.\tag{2.27}$$ Como $n=2$, temos $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^4(\Omega)$ (ver Teorema 4.12, p. 85, em [1]). Consequentemente, $L^2(0,T;V)\hookrightarrow L^2(0,T;[L^4(\Omega)]^2)$ e
\begin{align*} \|u_m^iu_m^k\|_{L^2}^2&=\int_\Omega|u_m^i|^2|u_m^k|^2\;dx
\leq\left(\int_\Omega|u_m^i|^4\;dx\right)^{1/2}\left(\int_\Omega|u_m^k|^4\;dx\right)^{1/2}=\|u^i_m\|_{L^4}^2\|u^k_m\|_{L^4}^2\\
&\leq \frac{1}{2}\|u^i_m\|_{L^4}^4+\frac{1}{2}\|u^k_m\|_{L^4}^4.
\end{align*} Logo, de (2.19),
$$(u_m^iu_m^k)\quad\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(Q),\qquad i,k=1,2.\tag{2.28}$$ De (2.27), de (2.28) e do Lema de Lions, segue que
$$u_m^iu_m^k\rightharpoonup u^iu^k\quad\text{em}\quad L^2(Q)\cong L^2(0,T;L^2(\Omega)),\qquad i,k=1,2.$$ Isto implica que
$$\int_0^T(u^k_m(t)v(\cdot,t),u_m^i(t))_{L^2}\;dt=\int_Q u^i_mu^k_mv\;dz\to\int_Q u^iu^kv\;dz=\int_0^T(u^k(t)v(\cdot,t),u^i(t))_{L^2}\;dt$$ para toda $ v\in L^2(Q)$. Tomando $v(x,t)=\theta(t)\frac{d}{dx_k}w_j^i(x)$ com $\theta\in L^2(0,T)$ e somando com respeito aos índices $i,k$, segue que
$$\int_0^Tb(u_m(t),\theta(t)w_j,u_m(t))\;dx\to\int_0^Tb(u(t),\theta(t)w_j,u(t))\;dx.$$ Do Lema 2.8, obtemos
$$\int_0^Tb(u_m(t),u_m(t),w_j)\theta(t)\;dt\to\int_0^Tb(u(t),u(t),w_j)\theta(t)\;dt,\quad\forall\ \theta\in L^2(0,T).$$ A última convergência vale, em particular, para todo $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ e, portanto,
$$b(u_m(\cdot),u_m(\cdot),w_j)\to b(u(\cdot),u(\cdot),w_j)\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T).$$ Isto conclui a prova de (2.25). Assim, fixando $j\in\mathbb{N}$ e tomando o limite em (2.24) com $m\to\infty$, concluímos que
$$\frac{d}{dt}(u(\cdot),w_j)+\nu a(u(\cdot),w_j)+b(u(\cdot), u(\cdot),w_j)=\langle f(\cdot),w_j\rangle_{V'\times V}\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(0,T),\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.$$ Multiplicando por $\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}$, segue do item (b) do Lema 2.7 (e do Teorema 2.3) que vale (2.12)$_1$.
CONDIÇÃO INICIAL
Já vimos que $u$ pertence ao espaço $W$ definido em (2.26). Logo, o Teorema 2.5 implica que $u\in C([0,T];H)$ e, portanto, $u(0)$ tem sentido. De (2.21) e (2.23),
\begin{align*} \int_0^T(u_m(t),v(t))\;dt&\to \int_0^T(u(t),v(t))\;dt,\quad\forall\ v\in L^1(0,T;H),\\
\int_0^T(u_m'(t),z(t))\;dt=\int_0^T\langle u_m'(t),z(t)\rangle_{V'\times V}\;dt&\to \int_0^T\langle u'(t),z(t)\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ z\in L^2(0,T;V).
\end{align*} Tome $\theta\in C^1[0,T]$ tal que $\theta(0)=1$ e $\theta(T)=0$. Das últimas duas convergências com $v(t)=\theta'(t)w_j$ e $z(t)=\theta(t)w_j$ segue que
\begin{align*} \int_0^T(u_m(t),\theta'(t)w_j)\;dt&\to \int_0^T(u(t),\theta'(t)w_j)\;dt=\int_0^T\langle u(t),\theta'(t)w_j\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ j\in\mathbb{N},\\
\int_0^T(u'_m(t),\theta(t)w_j)\;dt&\to \int_0^T\langle u'(t),\theta(t)w_j\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.
\end{align*} Somando as duas últimas convergências, segue da fórmula de integração por partes (2.6) que
$$(u_m(0),w_j)\to (u(0),w_j),\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.$$ Como $\operatorname{span}\{w_j\mid j\in\mathbb{N}\}$ é denso em $H$ (veja Teorema 2.3), segue de (2.14)$_2$ e da última convergência que
$${(u_0}_m,v)=(u_m(0),v)\to (u(0),v),\quad\forall\ v\in H.$$ Mas, de (2.14)$_3$,
$$({u_0}_m,v)\to (u_0,v),\quad\forall\ v\in H.$$ Logo, vale (2.12)$_2$ porque, pela unicidade do limite, as duas últimas convergências implicam que
$$(u(0),v)=(u_0,v),\quad\forall\ v\in H.$$
REGULARIDADE EXTRA
A igualdade já provada (2.12)$_1$ significa que, para quaisquer $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ e $v\in V$,
$$\left\langle \frac{d}{dt}(u(\cdot),v),\theta\right\rangle+ \big\langle \nu a(u(\cdot),v),\theta\big\rangle+\big\langle b(u(\cdot),u(\cdot),v),\theta\big\rangle=\big\langle \langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V},\theta\big\rangle.%,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V.
\tag{2.29}$$ Mas,
\begin{align*} \big\langle b(u(\cdot),u(\cdot),v),\theta\big\rangle&=\int_0^T b(u(t),u(t),v)\theta(t)\;dt
=\int_0^T\langle B(u(t),u(t)),v\rangle_{V'\times V}\theta(t)\;dt\\
&=\int_0^T\langle B(u(t),u(t))\theta(t),v\rangle_{V'\times V}\;dt
=\left\langle \int_0^TB(u(t),u(t))\theta(t)\;dt,v\right\rangle_{V'\times V}\\
&=\Big\langle \langle B(u(\cdot),u(\cdot)),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}.
\end{align*} Observe que na penúltima igualdade estamos usando o Lema 2.10, de acordo com o qual a integral que aparece dentro da dualidade está bem definida. Analogamente,
\begin{gather*} \left\langle \frac{d}{dt}(u(\cdot),v),\theta\right\rangle=\Big\langle \langle u'(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}\qquad\qquad
\big\langle \nu a(u(\cdot),v),\theta\big\rangle=\Big\langle \langle\nu Au(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}\\
\big\langle \langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V},\theta\big\rangle=\Big\langle \langle f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V} \end{gather*} Logo, por (2.29),
$$\Big\langle \langle u'(\cdot),\theta\rangle+\langle\nu Au(\cdot),\theta\rangle+\langle B(u(\cdot),u(\cdot)),\theta\rangle-\langle f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}=0,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V$$ donde
$$\big\langle u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot),\theta\big\rangle =0\quad\text{em}\quad V',\qquad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T).$$ Isto implica que
$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot)=0\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T;V').$$ Por hipótese, $f(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Já vimos que $u\in L^2(0,T;V)$ e $u'\in L^2(0,T;V')$. Como $A:V\to V'$ é limitado, segue que $Au(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Do Lema 2.10, $B(u(\cdot),u(\cdot))\in L^2(0,T;V')$. Logo, a última igualdade vale em $L^2(0,T;V')$ e pode ser reescrita como
$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))=f(\cdot)\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V')$$ donde
$$u'(t)+\nu Au(t)+B(u(t),u(t))=f(t)\quad\text{em}\quad V',\qquad\text{q.s. em}\quad [0,T].$$
- Unicidade
$$\left\{\begin{aligned} &w'(t)+\nu Aw(t)+B(u(t), u(t))-B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t))=0\quad\text{em}\quad V',\text{ q.s. em }[0,T],\\
&w(0)=0.
\end{aligned}\right.\tag{2.31}$$ De (2.31)$_1$ segue que, para todo $v\in V$,
$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle \nu Aw(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle B(u(t), u(t)),v\rangle_{V'\times V}-\langle B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v\rangle_{V'\times V}=0$$ q.s. em $[0,T]$, ou ainda,
$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),v)+b(u(t), u(t)),v)-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v)=0\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$ Em particular,
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))+b(u(t), u(t)),w(t))-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),w(t))=0$$ q.s. em $[0,T]$. Pelo Lema 2.8, segue que
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))=-b(w(t),u(t),w(t))\leq C\|w(t)\|_{H}\|w(t)\|_{V}\|u(t)\|_V$$ q.s. em $[0,T]$. Da definição de $a(\cdot,\cdot)$ e da desigualdade de Young, segue que
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu\|w(t)\|_V^2\leq \nu\|w(t)\|_{V}^2+ C\|w(t)\|_{H}^2\|u(t)\|_V^2\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$ Integrando sobre $(0,t)$ e usando (2.31)$_2$, concluímos que
$$\|w(t)\|_H=\int_0^t\frac{d}{dt}\|w(s)\|_H\;ds = 2\int_0^t\langle w'(s),w(t)\rangle_{V'\times V}\;ds \leq C\int_0^t\|w(s)\|_{H}^2\|u(s)\|_V^2\;ds.$$ Pela desigualdade de Grönwall concluímos que $w=0$ e, portanto, $u=\tilde{u}$. $\square$
Observação 2.13. Note que provamos mais do que enunciamos no Teorema 2.12. Na verdade, demonstramos o seguinte resultado:
Teorema 2.14. Dados $f\in L^2(0,T;V')$ e $u_0\in H$, existe uma única função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ satisfazendo $$\left\{\begin{aligned}&u'+\nu Au+B(u,u)=f\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V'),\\&u(0)=u_0.\end{aligned}\right.$$Isto implica que
$$\langle u'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(u(t),v)+b(u(t), u(t),v)=\langle f(t),v\rangle_{V'\times V}\quad\text{q.s em}\quad[0,T],\quad\forall\ v\in V$$ que também é uma versão fraca de (2.2), porém, "melhor" do que a formulação fraca original (2.5)$_1$.
2.5 Recuperação da pressão
Note que a pressão $p$ que aparece no problema original (2.1) foi "perdida" no processo da formulação fraca. Nesta seção vamos "recuperá-la", também em um sentido fraco - diferente, porém, daquele que foi considerado anteriormente. Especificamente, vamos "recuperá-la" no sentido das distribuições sobre $Q:=\Omega\times (0,T)$.
Observação 2.15. No que segue, o valor de uma distribuição $g\in\mathcal{D}'(\Omega)$ em $v\in\mathcal{D}(\Omega)$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}$. Analogamente, o valor de $g\in\mathcal{D}'(Q)$ em $v\in\mathcal{D}(Q)$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}$ e o valor de $g\in\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))$ em $v\in\mathcal{D}(0,T;H^{-1}(\Omega))$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))}$.
Observação 2.16. Pelo Teorema de Extensão de Hahn-Banach, todo funcional $g\in V'$ pode ser visto como um elemento de $([H_0^1(\Omega)]^2)'\cong [(H_0^1(\Omega))']^2=[H^{-1}(\Omega)]^2$ satisfazendo $\|g\|_{V'}=\|g\|_{[{H^{-1}(\Omega)]^2}}$ e
$$\langle g,v\rangle_{V'\times V}=\langle g,v\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)},\quad\forall\ v\in V.\tag{2.33}$$
Observação 2.17. Seja $v\in L^2(0,T;L^2(\Omega))$. Como $L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(\Omega\times (0,T))\subset\mathcal{D}'(Q)$, a função vetorial $v$ pode ser vista como uma distribuição em $\mathcal{D}'(Q)$, especificamente, a distribuição definida pela função escalar $(x,t)\mapsto [v(t)](x)$. Assim, para toda $\varphi \in \mathcal{D}(Q)$,$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_{Q}[v(t)](x)\varphi(x,t)\;dz=\int_0^T\int_{\Omega}[v(t)](x)\varphi(x,t)\;dx\;dt=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt.$$
Observação 2.18. Seja $v\in C([0,T];H^{-1}(\Omega))$ tal que $v'\in L^2(0,T; H^{-1}(\Omega))$. A função $v$ pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por
$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q).$$ Seja $\partial_t v$ a derivada distribucional de $v$ com respeito a $t$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Para quaisquer $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$ e $\theta\in \mathcal{D}(0,T)$,
\begin{align*} \langle \partial_tv,\phi\theta\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} &=-\langle v,\phi\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} =-\int_0^T\langle v(t), \phi\theta'(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=-\int_0^T\langle v(t)\theta'(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt\\
&=-\left\langle\int_0^T v(t)\theta'(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)} =-\left\langle\langle v,\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\
&=\left\langle\langle v',\theta\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)} =\left\langle\int_0^T v'(t)\theta(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\
&=\int_0^T \langle v'(t)\theta(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=\int_0^T \langle v'(t), \phi\theta(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
\end{align*} donde
$$\langle \partial_tv,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T \langle v'(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\varphi\in\mathcal{D}(Q)$$ porque $\operatorname{span}\{\phi\theta\in \mathcal{D}(Q) \mid\phi\in \mathcal{D}(\Omega),\;\theta\in \mathcal{D}(0,T)\}$ é denso em $\mathcal{D}(Q)$ (ver Teorema 39.2, p. 409, em [18]. Logo, a função $v'$ também pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por
$$\langle v',\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v'(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q)$$ e satisfazendo $v'=\partial_t v$ em $\mathcal{D}'(Q)$.
Agora, defina $U,F,\beta:[0,T]\to V'$ por
$$U(t)=\int_0^tu(s)\;ds,\quad F(t)=\int_0^tf(s)\;ds,\quad \beta(t)=\int_0^t B(u(s),u(s))\;ds.$$ Sabemos que $u,f,B\in L^2(0,T;V')$. Logo, $U$, $F$ e $\beta$ são absolutamente contínuas. Em particular,
$$ U,F,\beta\in C([0,T]; V')\tag{2.35}$$ Integrando (2.32)$_1$ concluímos que, para todo $t\in[0,T]$,
$$u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)=\int_0^tu'(s)\;ds+\nu \int_0^tAu(s)\;ds+\beta(t)=F(t)\text{ em } V'.\tag{2.36}$$ Defina $S:[0,T]\to V'$ por $S(t)=u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)-F(t)$. De (2.35) e da Observação 2.16,
$$S\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2).\tag{2.37}$$ De (2.33) e de (2.36),
$$\langle S(t),v\rangle _{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=\langle S(t),v\rangle _{V'\times V}=\langle 0,v\rangle _{V'\times V}=0,\quad \forall\ v\in V,\; t\in[0,T].$$ Resulta do Lema 2.11 que, para cada $t\in[0,T]$, existe $P(t)\in L^2(\Omega)$ tal que $S(t)=\nabla (P(t))$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$. Escrevendo $S(t)=(S_1(t),S_2(t))$, obtemos
$$S_i(t)=\partial_{x_i}(P(t))\quad\text{em}\quad H^{-1}(\Omega),\tag{2.38}$$ onde $\partial_{x_i}P(t)$ representa a derivada distribucional de $P(t)$ com respeito a $x_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Além disso, por (2.37), $\nabla (P(\cdot))\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2)$ e isto implica que $P\in C([0,T];L^2(\Omega))$ por causa da estimativa (2.11). Assim, a função $P$ (pela Observação 2.17) e a função $S_i$ (pela Observação 2.18) podem ser vistas como elementos de $\mathcal{D'}(Q)$ satisfazendo
\begin{align*}&\langle \partial_{x_i} P,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} =\;\langle P, \varphi_{x_i}\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}
=-\int_0^T\langle P(t), \varphi_{x_i}(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt
=\int_0^T\langle \partial_{x_i} (P(t)), \varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt\\
&\hspace{2.08cm}\overset{(2.38)}{=}\int_0^T\langle S_i(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=\langle S_i,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}\end{align*} para toda $\phi\in \mathcal{D}(Q)$. Isto mostra que $\partial_{x_i}P=S_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Derivando ambos os membros com respeito $t$ no sentido distribucional de $\mathcal{D}'(Q)$, segue da segunda parte da Observação 2.18 que
$$\partial_{x_i} \partial_tP=\partial_t\partial_{x_i}P=\partial_tS_i=S_i'\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(Q).$$ Definindo $p=-\partial_t P$, concluímos que
$$-\nabla p =(\partial_{x_1} \partial_tP,\partial_{x_2} \partial_tP)=(S_1',S_2')=S'=u'+\nu Au+B(u,u)-f\quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$ Isto prova o seguinte resultado, que nos dá uma versão fraca da equação original (2.1)$_1$:
Observação 2.18. Seja $v\in C([0,T];H^{-1}(\Omega))$ tal que $v'\in L^2(0,T; H^{-1}(\Omega))$. A função $v$ pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por
$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q).$$ Seja $\partial_t v$ a derivada distribucional de $v$ com respeito a $t$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Para quaisquer $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$ e $\theta\in \mathcal{D}(0,T)$,
\begin{align*} \langle \partial_tv,\phi\theta\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} &=-\langle v,\phi\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} =-\int_0^T\langle v(t), \phi\theta'(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=-\int_0^T\langle v(t)\theta'(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt\\
&=-\left\langle\int_0^T v(t)\theta'(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)} =-\left\langle\langle v,\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\
&=\left\langle\langle v',\theta\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)} =\left\langle\int_0^T v'(t)\theta(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\
&=\int_0^T \langle v'(t)\theta(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=\int_0^T \langle v'(t), \phi\theta(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
\end{align*} donde
$$\langle \partial_tv,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T \langle v'(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\varphi\in\mathcal{D}(Q)$$ porque $\operatorname{span}\{\phi\theta\in \mathcal{D}(Q) \mid\phi\in \mathcal{D}(\Omega),\;\theta\in \mathcal{D}(0,T)\}$ é denso em $\mathcal{D}(Q)$ (ver Teorema 39.2, p. 409, em [18]. Logo, a função $v'$ também pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por
$$\langle v',\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v'(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q)$$ e satisfazendo $v'=\partial_t v$ em $\mathcal{D}'(Q)$.
Agora, defina $U,F,\beta:[0,T]\to V'$ por
$$U(t)=\int_0^tu(s)\;ds,\quad F(t)=\int_0^tf(s)\;ds,\quad \beta(t)=\int_0^t B(u(s),u(s))\;ds.$$ Sabemos que $u,f,B\in L^2(0,T;V')$. Logo, $U$, $F$ e $\beta$ são absolutamente contínuas. Em particular,
$$ U,F,\beta\in C([0,T]; V')\tag{2.35}$$ Integrando (2.32)$_1$ concluímos que, para todo $t\in[0,T]$,
$$u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)=\int_0^tu'(s)\;ds+\nu \int_0^tAu(s)\;ds+\beta(t)=F(t)\text{ em } V'.\tag{2.36}$$ Defina $S:[0,T]\to V'$ por $S(t)=u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)-F(t)$. De (2.35) e da Observação 2.16,
$$S\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2).\tag{2.37}$$ De (2.33) e de (2.36),
$$\langle S(t),v\rangle _{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=\langle S(t),v\rangle _{V'\times V}=\langle 0,v\rangle _{V'\times V}=0,\quad \forall\ v\in V,\; t\in[0,T].$$ Resulta do Lema 2.11 que, para cada $t\in[0,T]$, existe $P(t)\in L^2(\Omega)$ tal que $S(t)=\nabla (P(t))$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$. Escrevendo $S(t)=(S_1(t),S_2(t))$, obtemos
$$S_i(t)=\partial_{x_i}(P(t))\quad\text{em}\quad H^{-1}(\Omega),\tag{2.38}$$ onde $\partial_{x_i}P(t)$ representa a derivada distribucional de $P(t)$ com respeito a $x_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Além disso, por (2.37), $\nabla (P(\cdot))\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2)$ e isto implica que $P\in C([0,T];L^2(\Omega))$ por causa da estimativa (2.11). Assim, a função $P$ (pela Observação 2.17) e a função $S_i$ (pela Observação 2.18) podem ser vistas como elementos de $\mathcal{D'}(Q)$ satisfazendo
\begin{align*}&\langle \partial_{x_i} P,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} =\;\langle P, \varphi_{x_i}\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}
=-\int_0^T\langle P(t), \varphi_{x_i}(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt
=\int_0^T\langle \partial_{x_i} (P(t)), \varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt\\
&\hspace{2.08cm}\overset{(2.38)}{=}\int_0^T\langle S_i(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=\langle S_i,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}\end{align*} para toda $\phi\in \mathcal{D}(Q)$. Isto mostra que $\partial_{x_i}P=S_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Derivando ambos os membros com respeito $t$ no sentido distribucional de $\mathcal{D}'(Q)$, segue da segunda parte da Observação 2.18 que
$$\partial_{x_i} \partial_tP=\partial_t\partial_{x_i}P=\partial_tS_i=S_i'\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(Q).$$ Definindo $p=-\partial_t P$, concluímos que
$$-\nabla p =(\partial_{x_1} \partial_tP,\partial_{x_2} \partial_tP)=(S_1',S_2')=S'=u'+\nu Au+B(u,u)-f\quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$ Isto prova o seguinte resultado, que nos dá uma versão fraca da equação original (2.1)$_1$:
Teorema 2.19. Existe uma distribuição $p\in\mathcal{D}'(Q)$ tal que a função $u$ dada pelo Teorema 2.14 satisfaz
$$u'+\nu Au+B(u,u)=f-\nabla p \quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$
Notas
(i) De acordo com [17], p. 280.
(ii) A palavra "completas" refere-se ao fato de que não estamos
considerando as equações estacionárias e nem linearizadas; estamos
considerando as equações de evolução não lineares. O caso estacionário
linearizado pode ser encontrado no Capítulo 1 de [17] e no
Capítulo XIX de [7]. O Capítulo XIX de [7]
também contém o caso não estacionário linearizado. E o Capítulo 2 de [17] contém o caso estacionário não linearizado.
(iii) Prêmio oferecido pelo The Clay Mathematics Institute. Os enunciados dos
problemas foram extraídos da página oficial.
(iv) Esta regularidade é utilizada nas integrações por partes feitas neste parágrafo.
(v) De acordo com [16], p. 35, é natural procurar uma solução com
essa regularidade porque, do ponto de vista físico, a condição $u\in
L^\infty(0,T; H)$ expressa o fato de que a energia cinética do sistema
permanece limitada e a condição $u\in L^2(0,T;V)$ expressa o fato de que
a energia perdida para a viscosidade é finita.
(vi) Estas caracterizações de $V$ e $H$ não serão utilizadas explicitamente na próxima seção.
(vii) Pela regularidade de $u'$, o termo $\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)$ pode ser escrito como $\langle u'(\cdot),v\rangle_{V'\times V}$.
(viii) Dizer que $T_m\to T$ em $\mathcal{D}'(0,T)$ significa que $\langle T_m,\theta\rangle\to \langle T,\theta\rangle$, para toda $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ (ver página 464 de [5] ou seção 1.19 em [8] ou parágrafo 6.16 em ]14]).
(vi) Estas caracterizações de $V$ e $H$ não serão utilizadas explicitamente na próxima seção.
(vii) Pela regularidade de $u'$, o termo $\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)$ pode ser escrito como $\langle u'(\cdot),v\rangle_{V'\times V}$.
(viii) Dizer que $T_m\to T$ em $\mathcal{D}'(0,T)$ significa que $\langle T_m,\theta\rangle\to \langle T,\theta\rangle$, para toda $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ (ver página 464 de [5] ou seção 1.19 em [8] ou parágrafo 6.16 em ]14]).
Referências
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[3] H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, New York, NY, 2011.
[4] M. M. Cavalcanti and V. N. D. Cavalcanti. Introdução às Equações Diferenciais Parciais. UEM/DMA, Maringá, PR, 2010.
[5] R. Dautray and J-L Lions. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology - Volume 2 - Functional and Variational Methods. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
[6] R. Dautray and J-L Lions. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology - Volume 5 - Evolution Problems I. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
[7] R. Dautray and J-L Lions. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology - Volume 6 - Evolution Problems II. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
[8] H. Le Dret. Équations aux dérivées partielles elliptiques non linéaires. Springer-Verlag, Berlin, 2013.
[9] M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, and V. Zizler. Banach Space Theory - The Basis for Linear and Nonlinear Analysis. Springer, New York, NY, 2011.
[10] A. W. Knapp. Basic Real Analysis. Birkhäuser, Boston, 2005.
[11] J. L. Lions. Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires. Dunod, Paris, 1969.
[12] L. A. Medeiros. Tópicos em Equações Diferenciais Parciais - Parte I. UFRJ/IM, Rio de Janeiro, RJ, 2006.
[13] T. Roubíček. Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Birkhäuser Verlag, Berlin, 2005.
[14] W. Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill, New York, 1991.
[15] H. Sohr. The Navier-Stokes Equations: An Elementary Functional Analytic Approach. Birkhäuser Verlag, Basel, 2001.
[16] L. Tartar. Topics in Nonlinear Analysis (retirage). Public. Math. d’Orsay, Université Paris-Sud, Paris, 1982.
[17] R. Temam. Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. North-Holland Publishing Company, Oxford, 1977.
[18] F. Treves. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, San Diego, 1967.
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