Problema: utilize diferencial total para aproximar o valor de
$$\sqrt{\frac{15,89}{9,02}}\tag{$*$}$$
$$\sqrt{\frac{15,89}{9,02}}\tag{$*$}$$
Solução: a expressão do diferencial total é dada por
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y} dy\tag{#}$$
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y} dy\tag{#}$$
Inspirados por $(*)$, vamos considerar a função de duas variáveis $z = f(x, y)$ definida pela expressão
$$z=\sqrt{\frac{x}{y}}$$
Calculando a derivada parcial com relação à variável $x$:
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\sqrt{\frac{x}{y}}\right]=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{\partial }{\partial x}\left[\sqrt{x}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{\partial }{\partial x}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}$$
$$z=\sqrt{\frac{x}{y}}$$
Calculando a derivada parcial com relação à variável $x$:
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\sqrt{\frac{x}{y}}\right]=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{\partial }{\partial x}\left[\sqrt{x}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{\partial }{\partial x}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}$$
Calculando a derivada parcial com relação à variável $y$:
$$\frac{\partial z}{\partial y}
=\frac{\partial }{\partial y}\left[\sqrt{\frac{x}{y}}\right]
=\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]
=\sqrt{x}\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}\right]
=\sqrt{x}\frac{\partial }{\partial x}\left[y^{-\frac{1}{2}}\right]
=\sqrt{x}\left(-\frac{1}{2}\right)y^{-\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y^3}}
$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}
=\frac{\partial }{\partial y}\left[\sqrt{\frac{x}{y}}\right]
=\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]
=\sqrt{x}\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}\right]
=\sqrt{x}\frac{\partial }{\partial x}\left[y^{-\frac{1}{2}}\right]
=\sqrt{x}\left(-\frac{1}{2}\right)y^{-\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y^3}}
$$
Substituindo em $(\text{#})$:
$$dz=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}dx+\left(-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y^3}}\right)dy$$
$$dz=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}dx+\left(-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y^3}}\right)dy$$
Tomando$x=16$ e $y=9$ obtemos $dx=15,89-16=-0,11$ e $dy=9,02-0,02=0,02$ (note que escolhemos $x=16$, em vez de $x=15$, pois é fácil calcular a raiz quadrada de $16$ enquanto que a de $15$ não é). Substituindo estes valores na última igualdade:
$$dz=\frac{1}{2\sqrt{16}\sqrt{9}}\cdot(-0,11)+\left(-\frac{\sqrt{16}}{2\sqrt{9^3}}\right)\cdot0,02$$
$$dz=\frac{1}{2\sqrt{16}\sqrt{9}}\cdot(-0,11)+\left(-\frac{\sqrt{16}}{2\sqrt{9^3}}\right)\cdot0,02$$
Fazendo a conta:
$$dz=-\frac{0,11}{2\cdot4\cdot3}-\frac{4\cdot0,02}{2\cdot 27}=-0,004$$
Agora, usando que quando $dx$ e $dy$ são pequenos tem-se$$dz=-\frac{0,11}{2\cdot4\cdot3}-\frac{4\cdot0,02}{2\cdot 27}=-0,004$$
$$f(x+dx,y+dy)\cong f(x,y)+dz,$$
concluímos que
$$\sqrt{\frac{15,89}{9,02}}=\sqrt{\frac{16-0,11}{9+0,02}}\cong\sqrt{\frac{16}{9}}-0,004=\frac{4}{3}-0,004\cong1,32.$$
$$\sqrt{\frac{15,89}{9,02}}=\sqrt{\frac{16-0,11}{9+0,02}}\cong\sqrt{\frac{16}{9}}-0,004=\frac{4}{3}-0,004\cong1,32.$$
Observação: com uma calculadora podemos obter a aproximação $1,31$, que é um resultado bem próximo do resultado obtido acima.
Referência: volume dois do livro de cálculo de Ron Larson (e outros).
Erros podem ser relatados aqui.
Me ajudaaaa.
ResponderExcluirCalcular aproximadamente por meio de diferenciais ³√26,98√36,04 a 3 decimais.
³√x.√y = x^(1/3).y^(1/2)
ExcluirDerivando em x e em y, temos
Fx = (1/3) x^(-2/3).y^(1/2)
Fy = (1/2). y^(-1/2) x^(1/3)
Dx = 26,98 - 27 = -0,02
Dy = 36,04 - 36 = 0,04
Aplique (27,36) nas derivadas Fx e Fy
encontre fx(27,36) = 2/9
fy(27,36) = 1/4
Agora resolva a expressão
fx(27,36). Dx + fy(27,36).Dy = 2/9 (-0,02) + (1/4) * (0,04) = 0,00555
Resolva: (³√27.√36) + 0,00555 = 18,005555
int 4x\sqrt(1+2x^2)
ResponderExcluirO pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de
ResponderExcluirH
3
0
+
. Qual é o pH de uma solução cuja concentração de H
3
0
+
é 4,5. 10
-
5
/
mol
?
Dados log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70
Preciso de 3 exercícios resolvidos passo à passo de Equações Diferenciais, com aplicações na Engenharia Mecânica, pois estou tendo muita dificuldade em conseguir esse tipo de conteúdo
ResponderExcluir