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quinta-feira, 20 de dezembro de 2012

Uma prova de que π é irracional


Ivan Morton Niven (1983-1984)
Ivan Morton Niven (1983-1984) 

O número π é, sem sombra de dúvidas, uma das constantes mais famosas da matemática. Quase tão famoso quanto ele próprio, é a propriedade que este número possui de ser irracional. Em contrapartida, um pouco menos famosa do que tal afirmação, é uma demonstração dela. O objetivo desta postagem é, então, provar que o número π é irracional. O argumento aqui apresentado é devido ao matemático canadense Ivan Niven, o primeiro a publicar uma prova "simples" deste fato (dez anos antes de sua morte).

Mas será que realmente é simples? Isso o leitor poderá decidir. Por certo ela é simples para os matemáticos (inclusive, foi originalmente publicada numa página única!). Creio que a maior dificuldade é a extensão do argumento, pois ele fica um pouco longo se tratado detalhadamente. Entretanto, quando tratado muito concisamente, ele parece ficar um tanto quanto incompreensível. Por este motivo, nossa escolha foi fazer uma exposição detalhada.

A demonstração de Niven para a irracionalidade de π é, na verdade, uma interessante e belíssima aplicação do Cálculo Diferencial e Integral (de uma variável real!). Assim, para compreender a demonstração você precisa, apenas, ter familiaridade com os seguintes conceitos (relativamente básicos para boa parte dos estudantes da área das exatas):

- Binômio de Newton;
- Funções;
- Limites;
- Continuidade;
- Derivadas;
- Integrais.

Conhece estes temas? Ótimo! Você está apto para aprender a prova. A chave da argumentação é mostrar que se π é racional, então existe um número inteiro entre 0 e 1. Como sabemos não existir um inteiro neste intervalo, é impossível que π seja racional.

Enfim, pegue papel e lápis para acompanhar os passos e vamos ao que interessa, a saber, demonstrar o seguinte

Teorema: O número π é irracional.

Antes de prosseguir é necessário dizer o que o teorema acima quer dizer com π. Como não poderia deixar de ser, ele é o nosso velho conhecido (razão do comprimento da circunferência pelo raio ou, como queira, área de um círculo de diâmetro 2 ou ainda 3,1415...). Mas na demonstração abaixo, a qualidade do π que nos interessa é que ele é a menor raiz real positiva da função sen(x), ou seja, ele é o menor real positivo que verifica a igualdade sen(x= 0. Assim, o que ficará estabelecido é a irracionalidade do menor real positivo que anula a função seno.

Prova:

A primeira coisa a se fazer é supor que $$\pi$$ possa ser escrito como um número racional, ou seja, que existam inteiros positivos $$a$$ e $$b$$ tais que $$\pi=a/b$$.

Feito isto, defina uma função $$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$, pondo

$$(1)\;\;\;\;\;\;\;f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!},$$

onde $$n$$ é arbitrariamente escolhido. Agora analisaremos algumas propriedades desta função, as quais não dependem do valor de $$n$$ (daí, no fim, com o intuito de concluir a demonstração, escolheremos um valor conveniente para $$n$$).

Propriedade 1.1) a função $$f$$ se anula nos pontos $$0$$ e $$\pi$$, ou seja, $$f(0)=0=f(\pi)$$.

Justificativa: basta por, respectivamente, $$0$$ e $$\pi$$ no lugar do $$x$$. Analisemos o caso $$x=\pi$$, o outro caso fica por conta do leitor.

$$f(\pi)=\frac{\pi^n(a-b\pi)^n}{n!}=\frac{\pi^n(a-b\frac{a}{b})^n}{n!}=\frac{\pi^n(a-a)^n}{n!}=0$$


Propriedade 1.2) $$f(x)>0$$ quando $$x\in(0,\pi)$$.

Justificativa: observe que

$$x\in(0,\pi) \Rightarrow x>0 \Rightarrow x^n>0$$

Além disso,

$$x\in(0,\pi) \Rightarrow \frac{a}{b}=\pi>x>0\Rightarrow a>bx>0\Rightarrow a-bx>0$$

$$\Rightarrow (a-bx)^n>0$$

Combinando as duas desigualdades implicadas (e usando que $$n!>0$$), concluímos o resultado desejado:

$$x^n(a-bx)^n>0\Rightarrow \frac{x^n(a-bx)^n}{n!}>0\Rightarrow f(x)>0$$

Propriedade 1.3) quando $$x\in(0,\pi)$$, tem-se $$f(x)\sin x<\pi^n a^n/n!$$.

Justificativa: pela hipótese feita, temos $$0<x<\pi$$ e por conseguinte $$x^n<\pi^n$$. Ademais (como $$b>0$$),

$$x\in(0,\pi)\Rightarrow 0<bx \Rightarrow a<a+bx\Rightarrow a-bx<a$$

$$\Rightarrow (a-bx)^n<a^n$$

Na última implicação, usamos que $$a-bx>0$$ (conforme visto logo acima). Agora, levando em conta que $$0<\sin(x)< 1$$ para todo $$x\in(0,\pi)$$, concluímos o que queríamos:

$$f(x)\sin x = \frac{x^n(a-bx)^n\sin x}{n!}<\frac{\pi^n \cdot a^n\cdot 1}{n!}=\frac{\pi^n a^n}{n!}$$

Propriedade 1.4) se $$x\in(0,\pi)$$, então $$0<f(x)\sin x < \pi^n a^n/n!$$.

Justificativa: usando que $$\sin x $$ é positiva naquele intervalo em conjunto com a propriedade 1.2 resulta que

$$0<f(x)\sin x$$

Usando a Propriedade 1.3 o resultado desejado segue de imediato.

Propriedade 1.5) para todo $$x$$, vale $$f(\pi-x)=f(x)$$.

Justificativa: basta utilizar um pouco de manipulação algébrica:

$$f(\pi-x)=f\left (\frac{a}{b}-x\right )=\frac{(\frac{a}{b}-x)^n(a-b(\frac{a}{b}-x))^n}{n!}$$

$$=\frac{(\frac{a}{b}-x)^n(a-a+bx)^n}{n!}$$

$$=\frac{(\frac{a}{b}-x)^nb^nx^n}{n!}=\frac{((\frac{a}{b}-x)b)^n x^n}{n!}$$

$$=\frac{(a-bx)^n x^n}{n!}=f(x)$$

Propriedade 1.6) cada derivada de $$f$$, seja qual for sua ordem, assume apenas valores inteiros no ponto $$x=0$$. Ou seja, $$f^{(i)}(0)$$ é sempre inteiro, onde $$f^{(i)}$$ representa a i-ésima derivada de $$f$$. 

Justificativa: comecemos reescrevendo $$f(x)$$ através do desenvolvimento binomial:

$$[*]\;\;\;f(x)=\frac{x^n(a^n-\cdots + (-b)^nx^n)}{n!}=\frac{a^n x^n}{n!}-\cdots+\frac{(-b)^nx^{2n}}{n!}$$

Observe que a expressão acima mostra que $$f$$ tem grau $$2n$$.

A título de ilustração, considere o monômio $$bx^7$$. Quantas vezes precisamos derivá-lo para que o resultado se reduza a zero? Ora, tendo em vista que o ato de derivar abaixa o grau de uma função polinomial em uma unidade, concluímos que na sétima derivação o expoente se reduz a zero e o monômio se transforma numa constante. Como derivada de constante é sempre nula, derivando a oitava vez o resultado será zero. Assim, derivando 8 vezes ou mais o resultado é zero. Não é difícil generalizar este raciocínio para uma soma de monômios, por exemplo, $$ax^6+bx^7+cx^8$$ (sendo o termo de maior grau 8, derivando 9 vezes ou mais o resultado será zero). A mesma ideia se aplica à expressão $$[*]$$. Como cada termo tem no máximo grau $$2n$$, quando $$i>2n$$ então $$f^{(i)}(x)$$ é zero para todo $$x$$, em particular para $$x=0$$.

Voltando ao monômio $$bx^7$$, quantas vezes podemos derivá-lo de modo que o resultado final sempre apresente um fator igual a $$x$$ (ou seja, de modo que a variável não desapareça)? Como já mencionamos acima, ao derivá-lo a sétima vez a variável desaparece (vira constante, pois o expoente se anula). Segue-se que derivando menos do que sete vezes o expoente será maior do que zero e por conseguinte sempre haverá um fator igual a $$x$$ na expressão. Certamente o raciocínio pode se estender para uma soma de monômios, digamos para $$ax^6+bx^7+cx^8$$ (como, neste polinômio, o termo de menor grau tem grau 6, derivando-o consecutivamente menos do que seis vezes cada termo sempre apresentará um fator igual a $$x$$). Esta ideia se aplica à expressão $$[*]$$: como nenhum termo tem grau menor do que $$n$$, se $$i<n$$ então cada termo de $$f^{(i)}(x)$$ terá um fator $$x$$. Assim, ao calcular $$f^{(i)}(0)$$, concluímos que cada termo apresentará um fator nulo e, por conseguinte, teremos $$f^{(i)}(0)=0+0+\cdots+0=0$$.

Assim temos verificado que $$f^{(i)}(0)=0$$ quando $$i<n$$ ou $$i>2n$$. Resta verificar o caso em que $$n\leq i \leq 2n$$. Para tanto, observe que cada monômio da expressão $$[*]$$ é da forma

$$\frac{kx^{n+j}}{n!},$$

onde $$k$$ é uma constante e $$0\leq j\leq n$$ (por exemplo, no primeiro termo, $$k=a^n$$ e $$j=0$$). Tomando $$i$$ tal que $$n\leq i \leq 2n$$ ocorrerá o seguinte: na expressão $$[*]$$ alguns termos terão grau menor do que $$i$$, outros terão grau maior do que $$i$$ e um termo terá grau igual a $$i$$ (ou seja, teremos $$i=n+j$$ para algum $$j$$). Bom, ao calcular $$f^{(i)}(0)$$, tanto os termos que têm grau menor do que e maior do que $$i$$ se reduzirão a zero (lembre-se da ideia que acabamos de utilizar nos dois parágrafos precedentes). Logo, basta ver o que ocorre com o termo cujo grau $$i$$ vale $$n+j$$. Derivando-o $$i=n+j$$ vezes vamos obter

$$\frac{(n+j)(n+j-1) \cdots 2 \cdot 1 \cdot k \cdot x^0}{n!}=\frac{(n+j)!k}{n!}$$

A expressão acima é um inteiro, pois o fator $$n!$$ aparece no numerador (quando convenientemente arranjado). Assim, dado qualquer monômio de $$f$$, ao ser ele derivado $$n+j$$ vezes ele se reduzirá zero (se seu grau for menor do $$n+j$$) ou ele permanecerá com um fator igual a $$x$$ (caso seu grau seja maior do que $$n+j$$) ou ele será uma constante inteira (se o grau for exatamente $$n+j$$). Segue-se que a derivada de ordem $$n+j$$ de cada monômio de $$f$$ no ponto $$x=0$$ vale zero ou é inteiro. Por conseguinte, $$f^{(n+j)}(0)$$ também é um inteiro (pois é a soma das derivadas de cada monômio, ou seja, é a soma de inteiro com zeros). Isso justifica a afirmação para o caso que restava. 

Propriedade 1.7) sempre vale $$f^{(i)}(x)=(-1)^i f^{(i)}(\pi-x)$$. 

Justificativa: vimos na Propriedade 1.5 que $$f(\pi-x)=f(x)$$. Derivando ambos os membros (regra da cadeia no lado esquerdo):

$$\frac{d}{dx}[f(\pi-x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]$$

$$f^{(1)}(\pi-x)\frac{d}{dx}[\pi-x]=f^{(1)}(x)\Rightarrow f^{(1)}(\pi-x)(-1)=f^{(1)}(x)$$

Calculando a segunda e terceira derivadas, o leitor notará que

$$f^{(2)}(\pi-x)=f^{(2)}(x)$$

$$f^{(3)}(\pi-x)=-f^{(3)}(x)$$

Prosseguindo o procedimento (calculando a quarta derivada e etc.), vê-se nitidamente que o resultado vale (formalmente poderíamos usar indução sobre a ordem da derivada, entretanto em todas as justificativas estamos interessados em transmitir ideias em vez de ser rigorosos).

Propriedade 1.8) o número $$f^{(i)}(\pi)$$ é sempre um inteiro.

Justificativa: pela Propriedade 1.7,

$$f^{(i)}(\pi)=(-1)^i f^{(i)}(\pi-\pi)=(-1)^i f^{(i)}(0)$$

Como $$f^{(i)}(0)$$ é um inteiro (pela Propriedade 1.6), a justificativa está completa (pois o resultado da multiplicação de um inteiro por $$(-1)$$ resulta num inteiro).

Tendo examinado aquelas que, para nossos propósitos, são as mais úteis propriedades da função $$(1)$$, definiremos uma outra função $$F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$, pondo 

$$(2)\;\;\;\;\;\;\;F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-\cdots + (-1)^n f^{(2n)}(x)$$

Vejamos algumas propriedades desta outra função.

Propriedade 2.1) vale a igualdade $$F''(x)+F(x)=f(x)$$. 

Justificativa: basta utilizar mais um pouco de manipulação algébrica:

$$F''(x)+F(x)=\left( f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+f^{(6)}(x)\cdots \right)$$

$$+\left (f(x)-f^{(2)}(x) + f^{(4)}(x)-f^{(6)}(x)\cdots \right ) $$

$$=f(x)+\left ( f^{(2)}(x)-f^{(2)}(x)\right)+ \left( f^{(4)}(x)-f^{(4)}(x)\right )+\cdots$$

$$=f(x)+0+0+\cdots +0=f(x)$$

Propriedade 2.2) a diferença $$F'(x)\sin x - F(x) \cos x$$ é uma primitiva de $$f(x) \sin x $$.

Justificativa: para notar isso, basta verificar que $$F'(x) \sin x - F(x) \cos x $$ é uma função cuja derivada é $$f(x)\sin x$$ (usaremos a regra do produto e, no último passo, a Propriedade 2.1):

$$\frac{d}{dx}\left [F'(x)\sin x - F(x) \cos x \right ]$$

$$= F''\sin x + F'(x) \cos x - F'(x) \cos x + F(x)\sin x $$ 

$$= F''(x)\sin x + F(x) \sin x= \left (F''(x)+F(x)\right )\sin x$$

$$=f(x)\sin x $$

Propriedade 2.3) a soma $$F(0)+F(\pi)$$ é um número inteiro.

Justificativa: basta mostrar que tanto $$F(0)$$ quanto $$F(\pi)$$ são inteiros (seguir-se-á que a soma  deles também é). Para tanto, note que:

$$F(0)=f(0)-f^{(2)}(0)+f^{(4)}(0)- \cdots + (-1)^n f^{(2n)}(0)$$

Pela Propriedade 1.6, a soma acima reduz-se a uma soma de inteiros, que é um número inteiro. Usando um raciocínio análogo (e a Propriedade 1.8) para o caso $$x=\pi$$ a justificativa termina.

Propriedade 2.4) A integral abaixo representa um número inteiro

$$\int _0^\pi f(x)\sin x \; dx$$

Justificativa: primeiramente aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (em conjunto com a propriedade 2.2):

$$\int _0^\pi f(x)\sin x \; dx=\left [ F'(x)\sin x - F(x) \cos x \right ]_0^\pi$$

$$=\left [F'(\pi)\sin \pi - F(\pi) \cos \pi \right ]-\left [F'(0)\sin 0 - F(0) \cos 0 \right ]$$

$$=F(\pi)+F(0)$$
Neste ponto, em face da Propriedade 2.3 a afirmação feita se torna óbvia.

Propriedade 2.5) se $$x\in(0,\pi)$$ então

$$0 <\int _0^\pi f(x)\sin x\;dx<\frac{\pi^{n+1} a^n}{n!}$$

Justificativa: já sabemos, pela Propriedade 1.4, que no intervalo referido

$$0<f(x)\sin x<\frac{\pi^n a^n}{n!}$$

Podemos usar a continuidade das funções envolvidas na desigualdade acima, para concluir que

$$0 <\int _0^\pi f(x)\sin x\;dx< \int _0^\pi \frac{\pi^n a^n}{n!}\; dx$$

Calculando a integral da direita (integral de constante), o resultado segue.

FINALIZAÇÃO: decorre da teoria dos limites (tema sobre a qual não entraremos em detalhes aqui) que existe $$n_0\in\mathbb{N}$$ tal que 

$$\frac{\pi^{n_0+1}a^{n_0}}{n_0!}<1$$

(Intuitivamente, isso significa que quando $$n$$ é muito grande, então o denominador da fração é muito maior do que o numerador). Sendo assim, concluímos que tomando $$n=n_0$$ na definição de $$f$$, vem 

$$0 <\int _0^\pi f(x)\sin x\;dx<1$$

Pela propriedade 2.4, resulta que existe um inteiro maior do que zero e menor do que um. Absurdo! Como a única hipótese feita foi a de $$\pi$$ ser um número racional, ela deve, necessariamente, ser falsa. Portanto $$\pi$$ é irracional.
$$\square$$

Para encerrar, segue uma versão* do texto original de Niven, que preserva o grau de detalhes por ele exposto (acredito que o leitor que estudou o conteúdo acima poderá melhor compreender as afirmações feitas).

Uma prova simples de que π é irracional
(IVAN NIVEN)

Seja $$\pi=a/b$$, uma razão de inteiros positivos. Definamos os polinômios

$$f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}$$
e

$$F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-\cdots +(-1)^nf^{(2n)}(x)$$,

deixando o inteiro positivo $$n$$ para ser especificado depois. Uma vez que $$n!f(x)$$ tem coeficientes inteiros e termos em $$x$$ de graus não menores do que $$n$$, $$f(x)$$ e suas derivadas $$f^{(i)}(x)$$ assumem valores inteiros para $$x=0$$; e também para $$x=\pi=a/b$$, pois $$f(x)=f(a/b-x)$$. Pelo cálculo elementar, temos

$$\frac{d}{dx}[F'(x)\sin x-F(x)\cos x]=F''(x)\sin x+F(x)\sin x$$

$$=f(x)\sin x$$
e

$$(1)\;\;\;\;\;\int_0^{\pi}f(x)\sin x\;dx=\left [ F'(x)\sin x-F(x)\cos x \right ]_0^\pi$$

$$=F(\pi)+F(0).$$

Ora, $$F(\pi)+F(0)$$ é um inteiro, pois $$f^{(i)}(\pi)$$ e $$f^{(i)}(0)$$ são inteiros. Mas para $$0<x<\pi$$,

$$0<f(x)\sin x < \frac{\pi^na^n}{n!},$$

de modo que a integral em $$(1)$$ é positiva, mas arbitrariamente pequena para $$n$$ suficientemente grande. Assim, $$(1)$$ é falsa e por isso o é a nossa hipótese de que $$\pi$$ é racional.

Com esta postagem (que até pensei em guardar para o dia 14/3) encerro minhas atividades deste ano no BLOG MANTHANO (que teve até mais postagens do que eu imaginava). Feliz Natal e próspero ano novo, sob a benção do redentor do mundo Jesus Cristo, para todos os leitores.

*tradução informal; melhoras podem ser sugeridas.
Referências: livro Calculus de Michael Spivak, artigo A simple proof that π is irrational de Ivan Niven, biografia em Mathematical Association of America blog The Math Less Traveled de Brent Yorgey.
Erros na página e/ou no conteúdo podem ser relatados aqui.

10 comentários :

  1. Oi, Pedro!

    Agora que tive tempo de compreender esta bela demonstração da irracionalidade do pi. As ferramentas matemáticas nós encontramos nos livros impressos. Agora, o uso que fazemos dela é que define a criatividade do ser humano! Este matemático Ivan Niven é um exemplo disso.

    Primeiro a compreenção e depois a transmissão de conhecimentos que considero uma arte também. O se fazer compreender na matemática é uma coisa que poucos dominam e vc, Pedro, é um privilegiado.

    Feliz Natal e um próspero Ano Novo!

    Aloisio Teixeira

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    Respostas
    1. Olá Aloisio. Eu fico muito admirado de como um homem pode construir um raciocínio "labiríntico" como este e chegar a uma saída tão surpreendente (usando ferramentes, que como você disse, esta aí nos livros). Sem dúvidas, Niven é um exemplo de criatividade (e este é um ponto interessante da matemática: ela exige criatividade; e os matemáticos são mestres neste quesito). Fico muito agradecido pelo seu elogio e contente pelo texto ter servido para você compreender. Felicidades para você também e tudo de bom.

      Pedro R.

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  2. O que é esse S entortado? Quantas horas são? O que eu estou fazendo aqui?

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    Respostas
    1. Imagino que esteja falando sobre o símbolo $$\int$$. Ele é um S alongado cuja origem remonta às obras do matemático Leibniz que chamava de "calculus summatorius" aquilo que hoje chamamos de "cálculo integral". O nome atual "cálculo integral" foi sugerido pelo matemático Jacob Bernoulli (na verdade, a sugestão foi "calculus integralis" - o termo "integral" é a versão em português). Abraço.
      Pedro R.

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  3. Olá Pedro, no início da postagem acho que houve um erro: "A chave da argumentação é mostrar que se π é IRRACIONAL, então existe um número inteiro entre 0 e 1. Como sabemos não existir um inteiro neste intervalo, é impossível que π seja racional." Acho que você quis dizer racionail ao invés de irracional. Muito boa postagem, acho que vi algo parecido no livro de Cálculo do Simmnos. Parabéns pelo post e feliz natal.

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    Respostas
    1. Olá prof. Paulo. De fato, eu quis dizer racional! Obrigado pela leitura atenta, pelo elogio e pelo comentário. No Simmons eu não sei, mas no Spivak tem (com certas diferenças, lá ele mostra que $$\pi^2$$ é irracional). Feliz natal pra você também. Abraço.
      Pedro R.

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  4. Olá, no início. quando vc definiu a função f(x)= x^n(a-bx)/n! o termo (a-bx) não estaria elevado a "n" também?Ficando f(x)= x^n(a-bx)^n/n!
    Não entendi pq quando vc explicou a propriedade 1.3, vc multiplicou f(x) por senx, colocando assim:
    f(x)senx=x^n(a-bx)^n senx/n! com o termo (a-bx) elevado a "n"

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    Respostas
    1. Olá anônimo. Sim, você está com a razão. O termo (a-bx) está elevado a "n" também! Obrigado pela correção!! Abraço. Pedro R.

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    2. Ok, eu é que agradeço pelo post, justamente o que eu estava procurando.Seu blog é excelente!Achei interessantíssimo este post sobre irracionalidade de pi.Aproveitando a oportunidade, visite o meu blog:
      http://www.ramanujahn.wordpress.com/

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  5. Saudaçoes, galera ...

    Seguinte: gostei muito deste blog e certamente do post, mas desejaria saber de um esclarecimento :

    Vcs conhecem alguma "prova simples" do resultado de Ferdinand Lindemann [A constante de Pi é um nrº irracional transcendente] ? Saberiam me dizer ?

    Enfim, desde ja grato por tudo e até a proxima ...

    Fui

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