$$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2}{3x - 4} = -1$$
De acordo com a definição formal de limite, devemos demonstrar que dado qualquer $$ \varepsilon $$ positivo, existe um $$\delta$$ positivo tal que a implicação seguinte vale para todo $$ x $$ do domínio de $$ f $$:
$$ 0 < | x - 1 | < \delta \Rightarrow \left | \frac{x^2}{3x - 4} - (-1) \right | < \varepsilon $$
Entretanto, dando "uma mexida" na tese da implicação (usando procedimentos algébricos simples e propriedades do valor absoluto), notamos que
$$ \left | \frac{x^2}{3x-4}-(-1) \right | = \left | \frac {x^2}{3x-4} + 1 \right | = \left | \frac{x^2+3x-4}{3x-4} \right |=$$
Portanto, tudo o que precisamos fazer é mostrar que dado $$ \varepsilon > 0 $$, existe $$ \delta>0$$ tal que
Advertimos que por uma questão de simplicidade, a partir daqui escreveremos apenas $$|x-1|<\delta$$ em vez de $$0<|x-1|<\delta$$ ficando, portanto, implícito que $$x\neq1$$.
Vale frisar que a implicação acima deverá valer para todo $$x$$ do domínio de $$f$$ que satisfizer a condição da hipótese (isto não será mais mencionado e está implícito em toda a exposição seguinte). Observamos que o domínio não foi dado, mas podemos supor que seja o conjunto que contém todos os reais para os quais a expressão $$f(x)$$ está definida, a saber, o conjunto $$\mathbb{R}-\left \{\frac{4}{3} \right \}$$. Isto é importante, pois nos diz que o número $$\delta$$ deve ser escolhido de modo a restringir os valores de $$x$$ a um intervalo aberto de centro $$1$$ (pois $$x\rightarrow1$$) do qual $$\frac{4}{3}$$ não participe. Sabemos, então, que $$\delta$$ não pode ser maior do que $$\frac{1}{3}\cong 0.3$$. Assim, $$0.2$$ ou $$0.1$$ são escolhas permitidas. Adiantamos que optamos por esta última. Fazendo, então $$\delta < 0.1 $$ concluímos o seguinte:
$$ \left | \frac{x^2}{3x-4}-(-1) \right | = \left | \frac {x^2}{3x-4} + 1 \right | = \left | \frac{x^2+3x-4}{3x-4} \right |=$$
$$ = \left | \frac{(x-1)(x+4)}{3x-4} \right | = \frac{|(x-1)(x+4)|}{|3x-4|} = \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|} $$
$$ 0 < | x - 1 | < \delta \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x - 4|} < \varepsilon $$
Advertimos que por uma questão de simplicidade, a partir daqui escreveremos apenas $$|x-1|<\delta$$ em vez de $$0<|x-1|<\delta$$ ficando, portanto, implícito que $$x\neq1$$.
Vale frisar que a implicação acima deverá valer para todo $$x$$ do domínio de $$f$$ que satisfizer a condição da hipótese (isto não será mais mencionado e está implícito em toda a exposição seguinte). Observamos que o domínio não foi dado, mas podemos supor que seja o conjunto que contém todos os reais para os quais a expressão $$f(x)$$ está definida, a saber, o conjunto $$\mathbb{R}-\left \{\frac{4}{3} \right \}$$. Isto é importante, pois nos diz que o número $$\delta$$ deve ser escolhido de modo a restringir os valores de $$x$$ a um intervalo aberto de centro $$1$$ (pois $$x\rightarrow1$$) do qual $$\frac{4}{3}$$ não participe. Sabemos, então, que $$\delta$$ não pode ser maior do que $$\frac{1}{3}\cong 0.3$$. Assim, $$0.2$$ ou $$0.1$$ são escolhas permitidas. Adiantamos que optamos por esta última. Fazendo, então $$\delta < 0.1 $$ concluímos o seguinte:
$$ |x - 1| < \delta \Rightarrow |x - 1| < 0.1 $$
$$\Rightarrow |x - 1| + 5 < 0.1 + 5 $$
$$\Rightarrow |x + 4| < 5.1$$
$$\Rightarrow |x + 4| < \frac{51}{10} \;\;\;\;\;[I]$$
Além disso,
$$\Rightarrow 3|x - 1| < 0.3 $$
$$\Rightarrow |3||x - 1|< 0.3 $$ (pela definição de valor absoluto)
$$\Rightarrow |3(x - 1)|< 0.3 $$ (pelas propriedades dos módulos)
$$\Rightarrow |3x - 3| < 0.3 $$
$$\Rightarrow |3x - 3+0| < 0.3 $$
$$\Rightarrow |3x - 3 -1 + 1| < 0.3 $$
$$\Rightarrow |3x - 4 + 1| < 0.3 $$
$$\Rightarrow |3x - 4 -(-1)| < 0.3 $$
$$\Rightarrow |(-1) - (3x - 4)| < 0.3 $$
(pois |a
− b| = |b
− a|)
$$\Rightarrow |-1| - |3x - 4| < 0.3 $$ (pois |a| − |b| ≤ |a − b|)
$$\Rightarrow 1 - |3x - 4| < 0.3$$ (pela definição de valor absoluto)
$$\Rightarrow - |3x - 4| < 0.3-1$$
$$\Rightarrow - |3x - 4| < -0.7$$
$$\Rightarrow |3x - 4| > 0.7$$
$$ \Rightarrow \frac{1}{0.7} > \frac{1}{|3x-4|}$$
$$ \Rightarrow \frac{1}{|3x-4|} < \frac{1}{0.7}$$
$$ \Rightarrow \frac{1}{|3x-4|} < \frac{1}{\frac{7}{10}}$$
$$ \Rightarrow \frac{1}{|3x-4|} < \frac{10}{7} \;\;\;\;\; [II]$$
Agora, usando $$[I]$$, $$[II] $$ e a monotonicidade da multiplicação, concluímos que
$$ |x-1| < \delta \Rightarrow |x-1| \cdot |x+4| \cdot \frac{1}{|3x-4|} < \delta \cdot \frac{51}{10} \cdot \frac{10}{7} $$
$$ \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}< \frac{51}{7} \cdot \delta $$
Esta última desigualdade nos mostra que se $$\delta$$ for escolhido de modo que $$\frac{51}{7} \cdot \delta < \varepsilon$$ então nosso problema estará resolvido. Isto evidentemente acontece se for $$\delta < \frac{7}{51} \varepsilon $$.
Deste modo, se valer $$\delta <0.1$$ e $$\delta < \frac{7}{51} \varepsilon$$, então podemos afirmar que
$$ |x-1| < \delta \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}< \frac{51}{7} \cdot \delta $$
$$ \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}< \frac{51}{7} \cdot \frac{7}{51} \varepsilon $$
$$ \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}< \varepsilon $$
Resumindo: acabamos de mostrar uma escolha conveniente para o valor de $$\delta$$ a partir da qual se pode concluir que, para qualquer que seja o $$\varepsilon$$ dado,
$$ | x - 1 | < \delta \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x - 4|} < \varepsilon $$
Assim, o $$\delta$$ requerido existe, pois já o exibimos. Especificamente, tudo o que precisamos fazer é colocar $$ \delta = \min \left \{\frac{1}{10},\frac {7}{51} \varepsilon \right \} $$. A demonstração está, portanto, completa pois é exatamente isto o que precisávamos fazer.
Leu até o fim? Comente! Eventuais dúvidas também podem ser mencionadas nos comentários que dentro do possível as esclarecerei.
Referência: LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. 3. ed. São Paulo, Editora Harbra ltda, 1994.
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