terça-feira, 12 de julho de 2011

Demonstrações de teoremas sobre limites [2]




Teorema 4: Se c e b são números reais quaisquer, então



O teorema acima é o Teorema 1 no caso em que m = 0. Uma vez que na demonstração do Teorema 1 dividimos por m (por isso exigiu-se m ≠ 0 no enunciado) aquela demonstração não vale para este caso.

Para demonstrar o Teorema 4, temos que mostrar que para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que

0 < |x – c| < δ |b b| < ε

Observe que |b b| = 0, portanto, temos que provar, apenas, que para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que
0 < |x – c| < δ 0 < ε

Pergunta: quando é que a implicação acima é satisfeita? Em outras palavras: para quais valores de δ, |x – c| < δ implica que zero é menor do que ε?
Resposta: para qualquer valor positivo.

Conclusão: o δ existe (e é igual a qualquer número positivo) e, portanto, o teorema está demonstrado.
Mas porque qualquer δ > 0 satisfaz a implicação 0 < |x – c| < δ 0 < ε?

Podemos argumentar utilizando a relação existente entre a implicação lógica e a teoria (ingênua) dos conjuntos (conforme observação contida aqui):

Sejam A e B dois conjuntos, definidos como se seguem: 

A = {x tal que 0 < |x – c| < δ}
B = {x tal que |f(x) L| < ε}

No caso do Teorema 4 temos f(x) = b e L = b e, portanto, B = , para qualquer que seja ε > 0, ou seja, todos os números reais satisfazem |f(x) L| < ε. Segue desta observação que desde que δ for positivo (pois a definição de limite exige isso) teremos A B (pois uma vez que B tem todos os números reais como seus elementos, não existe x pertencente a A que não pertença a B). Dizer que esta inclusão é válida é equivalente a dizer que 0 < |x – c| < δ implica 0 < ε.


As demonstrações continuam na próxima postagem da série.

Referências: Livros de Cálculo.
Erros podem ser apontados aqui.

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