quinta-feira, 7 de julho de 2011

Demonstrações de teoremas sobre limites [parte I]



Geralmente,   quando nos deparamos com limites como os exemplos que se seguem, não temos dificuldades em resolvê-los:



É comum adotarmos o procedimento da substituição direta, ou seja, apenas trocamos o x na função pelo número a que ele tende e calculamos o valor da expressão:


Quando calculamos limites semelhantes a estes estamos, na verdade, fazendo uso do seguinte teorema:


Teorema 1: Se b e c são números reais quaisquer e m é um número real diferente de zero, então


 

Para demonstrar este teorema vamos, primeiramente, enunciá-lo novamente nos moldes da definição formal: Se b e c são números reais quaisquer e m é um número real diferente de zero, então para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que

0 < |x – c| < δ |(mx + b) (mc + b)| < ε

Mas como o vamos provar? Ora, mostraremos que de fato existe um δ para qualquer que for o ε dado.

E como mostraremos que “existe um δ”? Vamos exibí-lo, como se segue – começando por reescrever o lado direito da implicação por meio de algumas manipulações algébricas:

|(mx + b) (mc + b)| = |mx + bmcb|

 = |mxmc + b b|

 = |(mxmc) + (b – b)|

 = |m(x – c) + 0|

 = |m(xc)|

 = |m||xc|

Portanto (substituindo este último resultado na primeira implicação) o que temos que fazer é mostrar que para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que

0 < |x c| < δ |m||x c| < ε

Como m é diferente de zero (pois o enunciado do teorema diz isso) podemos reescrever a desigualdade |m||x c| < ε do seguinte modo:


Agora ficou fácil, pois de tal modo reescrevemos as expressões que nos restou apenas mostrar que para qualquer ε positivo sempre existe um δ positivo que torna a seguinte implicação válida:

Note que para qualquer que for o ε dado existe uma particular escolha para δ que torna a implicação acima válida. De fato, basta escolher:


Por exemplo, se ε = 0,00001 e = 8 basta colocar δ = 0,00000125. Deste modo, exibimos o δ, provando que ele existe e, portanto, o teorema está demonstrado.  

Observe que o que aconteceu nesta demonstração, e acontecerá nas demonstrações seguintes, é que expressamos o δ em função do ε. Assim, uma vez que ε for dado δ também fica dado.

Observe ainda que o que acabamos de fazer foi mostrar que podemos tornar o valor de mx + b tão próximo de mc + quanto quisermos. Basta para isso tomar x suficientemente próximo de c (mas nunca igual a c). Transferindo isso para o caso do primeiro exemplo dado no início da postagem: podemos tornar o valor de 8+ 1 tão próximo de 1 quanto quisermos. Basta para isso tomar x suficientemente próximo de 0 (mas nunca igual a 0).

Segue imediatamente do Teorema 1 o seguinte resultado:
 

Teorema 2: Se c é um número real qualquer e m é um número real diferente de zero, então


  
O teorema acima é, evidentemente, o Teorema 1 para o caso em que b = 0 e, portanto, já está demonstrado. Contudo sua demonstração pode ser feita diretamente pela definição de modo análogo ao que foi feito acima – fica a sugestão para o leitor fazê-la. A aplicação do Teorema 2 está ilustrada no segundo exemplo dado no início da postagem.



Agora, pondo = 1 nTeorema 2 obtemos:



Teorema 3: Se c é um número real qualquer, então


Teorema 3 por sua vez, está ilustrado no último exemplo dado no início da postagem e também pode ser demonstrado diretamente por meio da definição de limite, tal qual fizemos no primeiro teorema.

Nesta postagem abordamos Teorema 1 para o caso em que m = 0.

Referências: Livros de Cálculo.
Erros podem ser apontados aqui.

10 comentários :

  1. EXCELENTE !
    Já passei pelos limites, derivadas e integrais, estou nas EDOs agora xD, mas é sempre bom rever o conteúdo, e mais, de uma forma ÚNICA ! melhor explicação sobre limites que vi na vida (e olha que li todos os livros de cálculo que pode imaginar, e alguns idiomas xD rs)!
    Gostaria de que se possivel você resolvesse limites pela definição de funções racionais, pois peno muito nisso (na vdd nunca entende bem esta parte). Ex:
    lim (3x + 4)/3 = 10/3
    x->2

    abs

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  2. Olá anônimo, muito obrigado pelo elogio. Sem dúvidas é sempre bom rever o conteúdo. Olha tentei responder a sua questão nesta postagem:
    http://manthanos.blogspot.com/2012/01/duvida-do-leitor-sobre-limites.html

    Dê uma olhada lá.
    Até+
    Pedro R.

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  3. Olá, gostei do texto,mas ainda estou com muitas dúvidas nas demonstrações.Fui fazer uns exercícios e não consegui.Um deles é este aqui:

    Seja f(x)= x²/3x-4 , mostre que lim . f(x)= -1
    x-> 1
    Aguardo a resposta.

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    1. Olá anonimo. Sugiro que visite este link: http://manthanos.blogspot.com.br/2012/06/provando-um-limite-duvida-de-um-leitor.html
      Pedro R.

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  4. Excelentes demonstrações! Bem explicado.

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