quinta-feira, 24 de março de 2011

Por que "menos vezes menos dá mais"?

As pessoas sabem desde muito cedo (talvez desde o fundamental) que as regras de sinais para a multiplicação podem ser representadas por algo como uma tabelinha:

+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -

Se alguma das regras acima pode causar perplexidade é a segunda: que menos vezes menos dá mais, pois ela não é (ao menos não para mim) tão intuitiva.

Esta postagem se dedica, então, a demonstrá-la.

É claro que ninguém duvida da veracidade desta regra , afinal certamente elas nunca falharam, mas não é difícil encontrar um indivíduo que não sabe de onde é que ela saiu (ainda que ele a use todo dia!).

Para responder de forma simples a pergunta porque "menos vezes menos dá mais"? poderíamos simplesmente dizer que é uma consequência lógica de alguns axiomas.

Mas dizer apenas isto é muito pouco instrutivo e não satisfaz a ninguém. Vamos então para uma demonstração:

Para mostrar que, de fato, menos vezes menos dá mais precisamos admitir alguns fatos relacionados aos números reais. Vamos chamá-los de axiomas e simplesmente aceitá-los como sendo válidos:

Observação: Abaixo, as notações $x$, $y$, $z$, $a$ e $b$ representam números reais.

1º axioma: a igualdade é reflexiva, ou seja, todo valor é igual a si próprio:
$$x = x$$
2º axioma: se a dois valores iguais somarmos um terceiro valor, os resultados serão iguais, ou seja:
$$\text{Se } x = y, \text{ então } x + z = y + z$$
3º axioma: a operação de adição é associativa, isto significa que o modo como os parênteses são arranjados é totalmente desimportante:
$$x + (y + z) = (x + y) + z$$
4º axioma: todo número $x$ tem um simétrico que é denotado por $-x$. Quando somamos um número ao seu simétrico obtemos zero:
$$x + (-x) = 0$$
5º axioma: o número zero é o elemento nulo da adição, ou seja:
$$x + 0 = x$$
6º axioma: a operação de adição é comutativa, ou seja, a ordem das parcelas não altera a soma:
$$x + y = y + x$$
7º axioma: a igualdade é simétrica, ou seja:
$$\text{Se } x = y, \text{ então }y = x$$
8º axioma: vale a lei distributiva, ou seja:
$$x(y + z) = xy + xz,\qquad (y + z)x = yx + zx$$
Até aqui tudo bem, certo? Mas veja que interessante: aceitando estes axiomas obtemos algumas consequências bem legais:
Consequência [i]: Se $x + y = x$, então $y = 0.$
Veja porque isso é verdade: suponha que
$$x + y = x$$
Como $(-x) = (-x)$, podemos utilizar o 2º axioma e escrever:
$$(-x) + (x + y) = (-x) + x$$
Devido ao fato de a adição ser associativa obtemos:
$$((-x) + x) + y = (-x) + x$$
Mas a soma de um elemento com seu simétrico resulta em zero, ou equivalentemente, devido à comutatividade da adição, a soma do simétrico com o elementos resulta em zero, portanto temos:
$$0 + y = 0$$
Mas o zero é o elemento nulo da adição:
$$y = 0$$
Assim fica demonstrada a Consequência [i]. Vejamos mais uma consequência:
Consequência [ii]: $0x = 0$.
Vamos explicá-la: começamos utilizando a reflexividade:
$$0x = 0x$$
O quinto axioma nos diz que $0 = 0 + 0$ (basta por o zero no lugar do $x$) então podemos escrever:
$$0x = (0 + 0)x$$
Pela Lei Distributiva:
$$0x = 0x + 0x$$
Como a igualdade é simétrica:
$$0x + 0x = 0x$$
Agora, usando a consequência [i] concluímos o que queríamos:
$$0x = 0$$
Observe que a consequência [i] nos diz que se somarmos dois números e o resultado obtido for igual a um dos números somados, então o outro número é necessariamente o zero. Vamos explicar melhor:

A consequência anterior nos diz que se x + y = x, então y = 0. No nosso caso tínhamos 0x + 0x = 0x, donde resulta que 0= 0.

Vamos ver mais uma consequência:
Consequência [iii]: $-xy = (-x)y$.
Prova: pela lei distributiva podemos escrever:
$$xy + (-x)y = (x + (-x))y$$
Pelo axioma do simétrico (no segundo membro da igualdade) obtemos:
$$xy + (-x)y = 0y$$
Como o produto de zero por qualquer número é zero (devido a consequência [ii]):
$$xy + (-x)y = 0$$
Como a soma acima resulta em zero o elemento $(-x)y$ deve ser o simétrico do elemento $xy$, ou seja:
$$(-x)y = -xy$$
(Observe que o que acaba de ser feito é a demonstração de que menos vezes mais dá menos).

Do mesmo modo é possível mostrar que $x(-y) = -xy$O leitor que compreendeu a demonstração acima é capaz de construir esta.

Vamos então a consequência que, neste texto, sucede a demonstração de que menos vezes menos dá mais:
Consequência [iv]: $x = -(-x)$.
Veja o motivo: pelo axioma do elemento simétrico:
$$x + (-x) = 0$$
Pela comutatividade da adição:
$$(-x) + x = 0$$
Logo $x$ deve ser o simétrico de $(-x)$ ou seja:
$$x = -(-x)$$
Todos estas consequências são necessárias para o propósito desta postagem: demonstrar que menos com menos dá mais. Na verdade para este fim precisamos diretamente apenas das consequências [iii] e [iv], contudo a consequência [iii] exige a consequência [ii] que por sua vez exige a consequência [i]. Este é o motivo de termos demonstrado todas elas. 

E as quatro consequências apresentadas dependem vitalmente dos oito axiomas enunciados no início.

 Vamos enfim provar que: $(-a)(-b) = ab$

Temos pela reflexividade que:
$$(-a)(-b) = (-a)(-b)$$
Fazendo uso da consequência [iii] podemos escrever:
$$(-a)(-b) = -(a(-b))$$
E novamente pela mesma consequência (pela parte que ficou para o leitor demonstrar), obtemos:

$$(-a)(-b) = -(-ab)$$
E finalmente, pela consequência [iv]:
$$(-a)(-b) = ab$$
E é isto que queríamos demonstrar.

Observação: Há outras maneiras de demonstrar que menos vezes menos dá mais. Talvez, e só talvez, faremos isso em postagens futuras  aqui no BLOG MANTHANO, apresentando inclusive argumentos mais simples que podem ser trabalhados no ensino fundamental. Contudo estes últimos o leitor poderá encontrar na última referência (que foi inclusa só para este fim e está disponível para download em sites de compartilhamento de arquivos).

Vale salientar que enunciamos apenas os axiomas necessários e suficientes para demonstrar o que queríamos, de modo que há outros axiomas e muitas outras consequências que sequer foram mencionadas. Este conteúdo pode, sem dúvidas, ser encontrado em livros de álgebra abstrata.

Referências:

NACHBIN, Leopoldo. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda. 1971.

LIMA, Elon Lages. Conceitos e Controvérsias. In: Meu Professor de matemática e Outras Histórias, Sociedade Brasileira de Matemática, 1991, p. 149-206.

*Erros podem ser apontados aqui.

FIQUE SABENDO OUTROS PORQUÊS:

22 comentários :

  1. Parabéns pelo post!!. Também já sou um seguidor.

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  2. Um elogio vindo de sua parte é sempre uma honra!

    Muito obrigado Professor!!

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  3. Lendo novamente, acho que houve um pequeno erro de digitação neste trecho "Agora, usando a consequência [ii]", acho que quis dizer consequênica [i].

    Apague este comentário após sua leitura.

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    1. Este comentário foi removido por um administrador do blog.

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    2. Anônimo de 13 de novembro, seu comentário foi excluído pois não toleramos palavreado de baixo calão aqui no BLOG MANTHANO. O espaço dos comentários é reservado para discutir ideias e não para proferir impropérios. Sinta-se a vontade para comentar novamente, inclusive discordando de quaisquer ideias expostas, mas faça isso de modo inteligente.

      Abraço.

      Pedro R.

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  4. Muito grato pela correção Professor!!

    Quanto a apagar o comentário, eu realmente não acho necessário. Aliás é muito conveniente que ele permaneça por dois motivos: em 1º que ele serve de alerta para o leitor (que a princípio sempre deve desconfiar do que lê na internet, por mais nobre que seja a intenção de quem escreve)e em 2º mostra a sua perspicácia.

    :D

    Até.

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  5. Olá. Creio que segundo axioma pode ser provado como teorema.
    Veja:

    Sejam x, y e z números reais. se x=y, digo que x+z=y+z.

    Pois pela reflexibilidade, x+z=x+z.
    Mas x=y, então, substituindo, temos x+z=y+z
    Q.E.D.

    O que acha?

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  6. Olá Vini, na verdade eu creio que o seu raciocínio está correto.

    Até.
    Pedro R.

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  7. Olá, muito bom o post, já sou um seguidor, obviamente.

    Ah, lá no último parágrafo do post tem um pequeno erro de "gramática", está escrito 'forma mencionadas' e eu acredito que deveria ser 'foram mencionadas', eis um erro que eu cometo bastante, principalmente quando estou digitando rápido...

    Att, Tiéris Valente.

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  8. Olá Tiéris Valente. Muito obrigado pelo elogio e mais ainda pela correção!

    Até+

    Pedro R.

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  9. descupa , mas achei , super nd a ver , sou da 6ª serie e intendi nada !!!! q prra ! to duas horas tentano achar uma resposta logica e rapida para minha pergunta: porque menos veses menos da mais ?!?!?!? emmmmm? é para uma simples pesquisa , uma simples resposta , SOCORRO!!!

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    1. se (+X)+(-X)= 0
      logo, +X=-(-X)
      Isto está citado no fim da matéria :D

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    2. Coitada kkkk. Esse artigo foi escrito para quem tem ensino superior.

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  10. Explicação imensa e complexa que mais confunde que esclarece! Continuo não concordando que menos vezes menos dá mais (apesar de ser obrigado a aceitar). Façamos uma analogia com dinheiro, coisa que todo mundo entende: se eu devo dois reais (-2) e multiplico esta minha dívida por -2, ou seja, dobro minha dívida, eu estou devendo agora 4 reais, portanto -4 (minha dívida dobrou). Senão vou chegar no banco e dizer pro gerente "multiplica minha dívida que menos com menos dá mais e aí não fico devendo nada". ;)

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    1. Há um erro na sua argumentação. Quando dobramos alguma coisa, estamos multiplicando por 2 e não por -2. Se você tem uma dívida de dois reais (-2) e dobra ela. Você está fazendo -2x2 = -4.

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  11. Alguém sabe me dizer. Quem descobriu que menos com menos é mais? Qual foi o primeiro matemático que registrou isso, que provou isso ou que percebeu isso?

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    1. Olá Ozéias, excelente pergunta! Vou compartilhar algumas informações que consegui levantar.

      Israel Kleiner, na página três de seu livro "A History of Abstract Algebra", descreve os seguintes fatos como "notáveis avanços em álgebra" feitos pelo matemático grego Diofanto de Alexandria (que viveu no século III):

      "(a) Ele deu duas regras básicas para trabalhar com expressões algébricas: a transferência de um termo de um lado de uma equação para o outro lado, e a eliminação de termos semelhantes dos dois lados de uma equação.

      (b) Ele definiu potências negativas de uma incógnita e enunciou as leis dos expoentes, $x^mx^n = x^{m+n}$, for $-6 \leq m,n, m + n \leq 6$.

      (c) Ele enunciou várias regras para operar com coeficientes negativos, por exemplo: “deficiência multiplicada por deficiência produz disponibilidade” ($(−a)(−b) = ab$).

      (d) Ele acabou com entraves da tradição grega clássica como (i) dar uma interpretação geométrica das expressões algébricas, (ii) restringir o produto de termos aos de grau de no máximo três e (iii) requerer homogeneidade nos termos de uma expressão algébrica."

      Então, ao que isto indica, Diofanto foi o primeiro a registrar esta regra. Conforme podemos ver no livro "Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra" de Thomas Heath (página 130), Diofanto faz este registro no "Livro I" de sua famosa obra "Aritmética".

      Pedro R.

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  12. Obrigado Pedro por dedicar um pouco do seu tempo para postar essa resposta. Valeu mesmo. Eu pensei que essa descoberta era mais recente. História da matemática é muito fascinante.

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  13. GOSTEI. Deixe- me ver se compreendi, quando eu tenho -(-ab) eu estou inferindo que o simétrico de -ab = ab.
    Se for isso eu entendi.
    Obs: Curso licenciatura em matematica.
    Agora,Dá-me um exemplo real desta operação (-a)(-b).

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  14. GOSTEI. Deixe- me ver se compreendi, quando eu tenho -(-ab) eu estou inferindo que o simétrico de -ab = ab.
    Se for isso eu entendi.
    Obs: Curso licenciatura em matematica.
    Agora,Dá-me um exemplo real desta operação (-a)(-b).

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  15. GOSTEI. Deixe- me ver se compreendi, quando eu tenho -(-ab) eu estou inferindo que o simétrico de -ab = ab.
    Se for isso eu entendi.
    Obs: Curso licenciatura em matematica.
    Agora,Dá-me um exemplo real desta operação (-a)(-b).

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