domingo, 6 de março de 2011

EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 1



Resolver a seguinte equação diferencial:

equação diferencial ordinária resolvida passo a passo

Solução:

Comece separando as variáveis:




Integre ambos os lados da igualdade:


Use a técnica da substituição nas duas integrais:

Na  integral do lado esquerdo faça

Analogamente, na outra integral faça

Fazendo estas substituições:


Utilize, evidentemente, a mesma regra em ambos os lados:



É claro que a diferença entre constantes é outra constante, então podemos escrever:


A expressão acima é equivalente a:


Esta útlima expressão, por sua vez é o mesmo que:



Pelas propriedades das potências:




Pelas propriedades dos logaritmos:



Um constante (e) elevada a outra constante (C) também é uma constante, logo podemos escrever:


Voltando com as variáveis originais:



Escrevendo o y em função do x:



Chamando a constante apenas de C podemos escrever:



Vamos verificar se esta função satisfaz a equação inicial (este procedimento nos pode ajudar a perceber se cometemos algum erro).

Começamos derivando a função que encontramos como solução:



Derivando a solução obtemos:


Agora substituímos os valores de y e y' acima encontrados na equação diferencial:







Observe que a obtemos uma igualdade válida, ou seja, a equação diferencial foi satisfeita (provavelmente acertamos a resolução).


Referência:

FIGUEIREDO, Djairo G. NEVES, Aloisio F. Equações Diferenciais Aplicadas. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. (Coleção matemática universitária)

*Erros podem ser apontados aqui.

15 comentários :

  1. Cara, D+... Obrigado, estou aprendendo. heheheh xD

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  2. Olá Han. Obrigado pela visita. Quem bom que está aprendendo!
    Abraço.
    Pedro R.

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  3. muito bom amig
    eu estou no 8° periodo de Engenharia Civil
    e aprende muito aki a anos atraz

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    1. Olá anônimo, que bom que o conteúdo lhe ajudou!
      Pedro R.

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    2. ola qeria saber aconta armada de x+5y=-4 d x+2y=-1

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  4. Bem explicado.Tenho prova e me ajudou bastante, valeu!!!

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    1. Ficamos satisfeitos de saber que nosso conteúdo está ajudando! Abraço.
      Pedro R.

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  5. Manthano tem algum jeito simples de aprender o passo a passo da resolução dos exercícios. tenho algumas equações separáveis para resolver vc pode me ajudar????

    1) dy/dx + 2xy = 0
    2) dy/dx = y+1/x
    3) dy/dx = (2y+3/4x+5)^2
    4) 2dy/dx - 1/y = 2x/y

    moraes.cicero@hotmail.com

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    1. Olá moraes.cicero! Escrevi um post para tentar te ajudar. Para vê-lo, vá até o índice (na barra de menus superior) e, na ala dos Exercícios Resolvidos, clique na parte 7 referente às equações diferenciais de variável separável. Abraço.
      Pedro R.

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    2. ola amigo como ficaria DY/DX=-X/Y COM A CONSTANTE C NO FIM VALENDO 3 NO GRAFICO

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  6. Amigo Manthano estou quebrando a cabeça para resolver essas EDOs: xdy-(x^4+x^2)ydx=0 e 2.y.y'=3.cos(3x), com y(0)=4. será que você pode me ajudar. seu blog é o máximo 1000

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  7. Tô no terceiro período de Eng. Mecânica e seu artigo me ajudou e vai continuar ajudando até eu concluir a matéria E. D. O. obrigado Manthano!

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  8. Poh cara valeu, onde eu encontro maia edo?

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  9. Muito bom professor,aprendi muito.Obrigado pela ajuda e continue a fazer esse trabalho maravilhoso.

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  10. Pode me ajudar?? PRECISO RESOLVER A QUESTÃO:
    Para x (maior que zero), determine a solução do problema de valor inicial x(2)y'+xy=1 y(1)=2
    onde
    x(2) = 'x' ao quadrado.

    Espero que possam me ajudar. Atenciosamente , Kátia

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